Elliptiska tillämpningar V

Ljusets avböjning, forts

Avböjningen ges av

eller

där  ε = m/R .  För  m/R mellan  0  och  1/3  ger detta ett positivt  δ  och  δ → ∞  då  m/R → 1/3- .  Detta innebär att ljuset kan gå ett godtyckligt antal varv om bara minsta r-värdet  R är tillräckligt nära  3m .  Detta är möjligt för ett svart hål med radien (r)  2m men även en neutronstjärna kan ha radie  mindre än  3m (och större än  2m ).

Att närmaste vändpunkt ligger utanför händelsehorisonten för ett svart hål kan kanske verka överraskande. Men ljuset kan naturligtvis reflekteras och sedan röra sig utåt igen. Däremot kan inte ljus av sig själv vända på avståndet (r-värdet)  3m eller mindre; det finns ingen nollgeodet med denna egenskap. Några olika banor visas nedan med minsta  R = 3,05m då ljuset avböjs mer än ett helt varv.

Man kan nu fråga sig hur en ljusstråle ska riktas för att precis gå in i en spiralformad bana. Differentialekvationen

satisfieras av funktionerna

och av den konstanta funktionen  r(θ) = 3 .

Den sistnämnda betyder en cirkelbana med radien  3m ,  dvs ljuset kan röra sig i en cirkel runt en kropp med radie mindre än  3m ,  exempelvis ett svart hål. För de övriga lösningarna väljer vi  A = 5  och minustecken i exponenten. Dessa val bestämmer bara var 0-linjen för de polära koordinaterna ska ligga samt i vilken riktning vinkeln ökar. Bankurvan är densamma. Valet av minustecken gör att  θ  ökar i positiv led som vanligt och valet  A = 5  betyder att  r(0) = 18, som är det minsta möjliga värdet som är heltal och sådant även A är ett heltal. Vår funktion kan med detta val av polära koordinater skrivas

där man lätt ser att  r(θ) > 3  och att  r(θ) → 3  då  Θ → ∞ . Kurvan närmar sig alltså obegränsat cirkeln med radie 3 längs en spiral. Den riktning från vilken ljusstrålen kommer bestäms av att nämnaren i föregående uttryck är noll, vilket ger  θ = ln(2/5 + √3/5) ≈ – 0,29248 (radianer) ≈ -16,76° .  Så här ser bankurvan ut för polära vinklar från detta värde till 5π, dvs två och ett halvt varv från 0-linjen:

För att se båda varven krävs dock en förstoring. Delförstoring som visar kurvan efter ett och två varv, räknat från nollinjen:

För ett svart hål med solens massa innebär detta att ljuset två varv efter nollinjen befinner sig knappt en centimeter utanför händelsehorisonten! Därefter minskar detta avständ med en faktor drygt 500 för varje varv.

Den riktning ljuset ska komma ifrån för att gå in i en spiralbana angavs ovan. Men det är är inte så lätt att skicka iväg en ljusstråle från oändligt avstånd. Antag att vi vill sitta på ändligt avstånd, exempelvis  där  r = 18  och sända iväg en ljusstråle i spiralbana. Hur ska vi då sikta? Exempelvis, i vilken spetsig vinkel  α  med en rät linje till kroppens centrum ska vi sikta?

Om spiralens ekvation i närheten av startpunkten  r = r₀ är  y = f(x)  så är  α = π – arctan f ’(r₀) .  Men

f ’(x) = D_x (r(θ)sin θ) = D_θ (r(θ)sin θ) / dx/dθ =

= D_θ (r(θ)sin θ) / d(r(θ)cos θ)/dθ

som, eftersom  r = r₀ motsvarar  θ = 0 ,  ger

f ’(18) = r(0) / r’(0) = -3/10.  Alltså är  α = arctan(3/10) ≈ 16,70° .  Detta är, som sig bör, aningen mindre än vinkeln |ln(2/5 + √3/5)| ,  alltså den vinkel som ljusets riktning ”oändligt långt bort” bildar med 0-linjen.

Anm: Med avstånd menas r och vinklarna avser vinklar i en figur där koordinaten r återges som avståndet från origo, vilket också har gjorts i figurerna – icke-euklidisk geometri!

Nobelpriset i fysik 2009

Årets pris verkar väl mer belöna uppfinningar än upptäckter inom fysiken. Men i Nobels testamente sägs ju att prisen ska gå till dem som har gjort den största nyttan osv, så med tanke på det är inget att invända. Priset belönar forskning som ligger bakom kommunikation mha fiberoptik och digitalkameran. Den som läser detta utnyttjar förmodligen fiberoptik för att nämna ett exempel.

Å andra sidan hade jag som teoretiker med intresse för fundamentala frågor hoppats att Aspect (flera gånger tippad) skulle få priset för den experimentella bekräftelsen på ”quantum entanglement” (känner inte till något vedertaget svenskt uttryckt). Detta är ett fenomen som Einstein, Podolsky och Rosen behandlade i ett berömt arbete redan 1935. Deras avsikt var att påvisa kvantmekanikens orimlighet. I stället visade Aspects experiment att effekten finns. Effekten är numera – till skillnad från 1935 – välkänd för alla som har studerat kvantmekanik. Så Aspects resultat var väntat men ändå anmärkningsvärt. Visserligen är ”entanglement” fundamentalt i kvantmekaniken men att ”se” fenomenet i stor skala, inte bara på atomnivå, är ändå intressant och en grundlig vederläggning av EPR:s uppfattning samtidigt som det bekräftar deras beräkning! – Einstein, som ju aldrig blev övertygad om den gängse tolkningen av kvantmekaniken, får ursäkta så länge. ”Entanglement”-fenomenet som sådant lär vi inte komma förbi men det Einstein främst vände sig mot var indeterminismen och den kan man fortfarande betvivla – med lite god vilja. 

För övrigt anser jag att ekonomipriset bör plockas bort från Nobelprisutdelningen. Något sådant pris nämns inte i Nobels testamente och belöningen kommer ju heller inte från avkastningen av Nobels förmögenhet. Frasen ”till Alfred Nobels minne” hindrar inte att någon tycks delta i fel tillställning. Som att dyka upp på en privat fest man inte är bjuden till. – Att detta pris ofta har en politisk anstrykning samtidigt som det tycks göra något slags anspråk på vetenskaplighet är iofs en annan sak men gör inte tilltaget trevligare.

Den 26 september 1905…

… publicerade tidskriften Annalen der Physik en artikel med titeln Zur Elektrodynamik bewegter Körper, skriven av den då tämligen okände Albert Einstein. Den utgör tillsammans med en följande artikel i samma tidskrift, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?, det väsentliga av vad vi nu kallar för den speciella relativitetsteorin. Den andra artikeln innehåller den första (approximativa) härledningen av sambandet  E = mc². Fortsättning följde i ett stort antal publikationer och inom några år var Einstein känd och berömd bland fysikerna. Hans berömmelse bland allmänheten dröjde dock till 1919.

Einstein fick 1922 års nobelpris för sin teori för den fotoelektriska effekten, även den från 1905. Detta var naturligtvis välförtjänt men ändå är det anmärkningsvärt att han inte fick priset för relativitetsteorin, som tydligen inte vetenskapsakademins ledamöter förstod!

Alla Einsteins publikationer i Annalen der Physik, inklusive de ovannämnda, finns för gratis (och helt laglig) nedladdning på nätet. De är skrivna på tyska men en del finns översatta till engelska i The Principle of Relativity:

Einsteins publikationer från 1905 till 1915 och därmed också en översikt över relativitetsteorins framväxt finns beskrivna i The Einstein Decade (1905-1915):

Dessa båda böcker kan köpas antikvariskt, exempelvis från AbeBooks.

För den som vill ta del av de fullständiga originalartiklarna under dessa år går de att få tag i på universitetsbibliotek. I de flesta fall får man dock vara beredd att läsa dem på tyska; bara de mest avgörande finns översatta. Å andra sidan får man då Einsteins egna ord.

Elliptiska tillämpningar IV

Ljusets avböjning

Ljus från avlägsna stjärnor, som passerar intill solen kommer att avböjas 1,75 bågsekunder enligt den allmänna relativitetsteorin. Detta beräknades av Einstein och bekräftades vid mätningar i samband med en total solförmörkelse år 1919.

Avböjningen är (i radianer) ungefär  4m/R där  m = GM/c² ,  M är solens massa,  R dess radie,  G Newtons gravitationskonstant och  c ljusets fart i vakuum. Uppmätta värden finns här respektive här. (Det ska kanske påpekas att enheten meter numera definieras så att det angivna värdet på  c är exakt.)

Vid sfärisk symmetri, vilket vi antar, beskrivs gravitationsfältet i vakuum av Schwarzschilds metrik, som också bestämmer linjelementet ds:

Banan för en ljusstråle i ekvatorialplanet (θ = 0) beskrivs av differentialekvationen

där  u = 1/r (se t ex Lawden, Introduction to Tensor Calculus and Relativity). Konstanten a beror på det minsta r-värdet R enligt

Om vinkeln φ mäts från punkten närmast kraftcentrum (t ex solen) och avböjningen betecknas δ så ger differentialekvationen

där

Alternativt kan man uttrycka δ som en elliptisk integral av Jacobityp genom variabelsubstitutionen u = 1/r i första integralen ovan eller genom att använda funktionen r(φ) i stället för u(φ) i differentialekvationen. Bådadera ger

där

En transformation

där

överför integralen i

(Cayleys metod). Här är

och

Ett par enkla omskrivningar ger

där

Substitutionen  z → u där  p – z² = (p – q)u²  ger slutligen

där integralen är en ofullständig elliptisk integral av första slaget. Alternativt kan man skriva

Såväl Weierstrass- som Jacobiintegralens integrander har en singularitet i integrationsintervallets ena ändpunkt. Denna försvårar en direkt numerisk integrering, även med hjälpmedel som Derive men elimineras genom en partiell integrering; i princip som

För solens del får man, efter multiplikation med 180/π·3600,  δ ≈ 1,75  bågsekunder för ljus som passerar alldeles intill solen. För små värden på  m/R är  δ ≈ 4m/R ( i radianer), dvs avböjningen är ungefär omvänt proportionell mot R. Detta utnyttjas i praktiken då man mäter på stjärnor, som syns på varierande avstånd från solen. Denna approximation kan man direkt härleda ur differentialekvationen för ljusets rörelse (vilket ofta görs i läroböckerna) men också från endera av våra integraler.

Vi använder den första integralen, vilket verkar enklast:

Variabelbytet  w = uR ger

Här kan den andra faktorn i integranden utvecklas i potensserie i  m/R ,  varefter koefficienterna ger elementära integraler i  w .  Till och med ordning 3 ger detta

där första termen i högerledet är den tidigare nämnda första approximationen. för avböjning vid solen räcker denna mer än väl. Vid mera extrema fall, såsom avböjning av ljus vid svarta hål eller neutronstjärnor är antagligen de fullständiga integraluttrycken lämpligast att använda, ev i kombination med numeriska metoder för integralberäkning. – Återkommer till detta.

Historiens vingslag

Idag är det precis 70 år sedan det nazistiska Tysklands anfall på Polen, den tändande gnistan till andra världskriget. Att detta uppmärksammas, inte minst i Polen, är naturligt och önskvärt. Vi får inte glömma historien. Lite egendomliga är de tendenser som tycks finnas att göra dagspolitik av minnesdagen, Putins artikel om Molotov-Ribentrop-pakten exempelvis eller att USA inte skickar vare sig president eller utrikesminister till högtidligherna. Man kan fråga sig varför; ingen av dagens makthavare är ju ansvariga för dåtidens händelser.

Samma dag, 1 september 1939, är det nummer av Physical Review daterat, som innehåller en sedermera berömd artikel om gravitationskollaps, författad av Oppenheimer och Snyder. Den kommer ”nästan” fram till begreppet svart hål men uppmärksammades inte förrän långt senare då dessa objekt började tas på allvar.

Det var samma Oppenheimer som senare ledde arbetet att tillverka en atombomb i det s k Manhattanprojektet. Och som om det inte vore nog med sammanträffanden innehåll nämnda nummer av Phys Rev även en artikel av Bohr och Wheeler om kärnfission, alltså den process som utnyttjades i de första atombomberna (till skillnad från vätebomberna) och även i den fredliga kärnenergin.

Det brukar anses att atombomben satte stopp för andra världskriget genom att Japan tvingades till kapitulation. Detta kan säkert diskuteras men jag är inte historiker. Men anledningen till att bomben tillverkades var hur som helst inte detta utan rädslan för att Tyskland skulle hinna före; kärnklyvningen hade ju upptäckts i Tyskland. Senare har det visat sig att man inte hade kommit så långt. Det lär t o m vara så att Hitler bromsade eftersom han inte tyckte om ”judisk fysik”. Tala om att sätta krokben för sig själv – vilket vi ju i så fall får vara glada för.

Och det det var alltså inte Einstein som uppfann atombomben. Det berömda sambandet E = mc² har föga med saken att göra.

Elliptiska tillämpningar III

Glidande stege utan vägg

Detta är en variant på det tidigare problemet med en glidande stege. Vi antar nu att inte bara friktionen utan också väggen försvinner. Något skruvat kan det tyckas men en intressant övning.

Energilagen ger

där  φ₀ = φ(0)  är vinkeln vid tiden  t = 0  då stegen släpps. I detta fall är  x(t) = o  för alla t, eftersom ingen kraft verkar i x-led då det inte finns någon friktion; frånvaron av friktion gör alltså att tyngdpunkten rör sig vertikalt vid start från vila. För tyngdpunktens y-koordinat gäller

Insättning av uttrycket för  y‘  i första ekvationen ger

och mha av detta kan exempelvis tiden T tills stegen ligger på golvet beräknas:

I figuren nedan har valts  L/g = 1  i SI-enheter, dvs en närmare 10 m lång stege. Den vertikala linjen är en asymptot vid startvinkeln  90°.

Här har förutsatts att stegen inte tappar kontakten med golvet. För att visa detta visar vi att  y”(t) > -g för alla t. Derivering av uttrycket för  φ’  och insättning av  φ’  och  φ”  i uttrycket för  y”  ger

Sätt här  cos²φ = 1 – sin²φ  och därefter  x = sin φ ,  k = sin φ₀ ,  vilket ger

där  0 < k < 1 ,  0 < x < k .  Högerledets derivator med avseende på  x respektive  k är båda noll om och endast om  k = x = 0 .  Uttryckets minsta värde i triangelområdet  0 ≤ k ≤ 1 ,  0 ≤ x ≤ k antas därför på randen. Man visar lätt att uttrycket antar (alla) värden i intervallet  [-3g/4, 0] på två av triangelns sidor. På den tredje sidan,  k = 1 för alla x ,  blir räkningarna lite krångligare. Det visar sig att  x = (2√3/9 – 1/3)^1/3 – (2√3/9 + 1/3)^1/3 + 1 ≈ 0,4766644911  ger ett minsta värde, som ligger mellan  -0,83g 0ch  -0,84g .  Alltså är  y”(t) > -0,84g > -g för alla aktuella  t . I nedanstående figur visas några nivåkurvor:

Figuren antyder (för att nu inte säga för mycket) att  y”(t) > -0,9g .

Rättelse: På första raden i beräkningen av T fattas dφ i integralen.

Fågelslakt

I Borås har Gatunämnden beslutat att man ska avliva kajor såsom varande en sanitär olägenhet. Och detta utan att ens ta del av sakkunskapen eller ens politiskt förankra beslutet på sedvanligt sätt.

Ornitologerna m fl har invändningar, inte ”bara” pga djurvänlighet utan för att de har kunskaper som gör Gatunämndens tilltag omotiverat. Det finns andra metoder om nu dessa fåglar verkligen stör någon.

Djurens Rätt har lagt ut en protestlista på nätet.

Själv har jag aldrig blivit störd av någon enda kaja, däremot av en hel del okunniga människor. Kajan är ju också en särdeles fascinerande och påtagligt intelligent fågel. Konrad Lorenz‘ bok I samspråk med djuren kan rekommenderas. Hans redogörelse för just kajornas beteende är både informativ och underhållande, exempelvis hans beskrivning av hur kajorna uppenbarligen har roligt när de flyger omkring. – Kanske Gatunämnden i Borås skulle ta en titt på den boken. Den som inte är helt förstockad kan knappat undgå att gripas av fascination för dessa djur. Konrad Lorenz – Research Station har en webplats där man kan läsa om dem och andra djur.

Djurens päls…

… behöver ingen utom pälsdjuren själva. I synnerhet inte människorna i den tempererade delen av världen. Ändå finns den kvar. Det var en ganska livlig diskussion för några år sedan men frågan sköts på en obestämd framtid. Ansvariga politiker slingrade sig på sedvanligt sätt trots att hela pälsnäringen är ett uppenbart brott gällande djurskyddslagar. Alltså inte ”bara” moraliskt förkastlig.

Hur dessa lagar ser ut i andra länder vet jag inte. Men nu är det tydligen ett förslag på gång att totalförbjuda pälsindustrin i Israel, inklusive import mm. Varför just Israel? Ingen aning, men glädjande var det än händer. Ännu bättre om andra länder också påverkas.

Vårdagjämning på Saturnus

Idag 11 augusti 2009 ”försvinner” Saturnus ringar. Rättare sagt, de blir (i det närmaste) osynliga eftersom de vänder kanten mot oss och ringarna är väldigt tunna mätt med astronomiska mått.

Den 11 augusti 1999 (som f ö var en onsdag),  var det total solförmörkelse i bl a flera länder i Sydeuropa. Förmodligen en  tillfällighet att det är precis tio år sedan men ändå.

Här (i Göteborgsområdet) var det mulet och regnigt så av solförmörkelsen märktes inget utom möjligen att det blev ännu mörkare mitt på dagen än vad som berodde på molnen. Men det krävs en förmörkelse mycket nära total för att det ska verka mörkare; bl a anpassar ju sig ju ögonen.

I den här veckan kan  man också observera meteorsvärmen Perseiderna. Svärmen åstadkommes av resterna efter en komet och återkommer vid den här tiden varje år då Jorden passerar det område i sin bana där ”skräpet” befinner sig. Men naturligtvis kan man inte förutsäga precis när och hur många meteorer som syns. Betydligt fler än vanligt de närmaste nätterna i varje fall. -  Radianten, dvs den punkt meteorerna ser ut att komma från:

Elliptiska tillämpningar II

Glidande stege

(Uppdaterat den 9 aug)

(Tack till Tomas C, LTH för problemställningen.)

En stege står lutad mot en vägg. Friktionen mot vägg och golv försvinner plötsligt. I vilket läge släpper stegen kontakten med väggen?

Ett orealistiskt problem kan tyckas men en nyttig övning. Och lösning av realistiska problem börjar ju ofta med en idealisering.

Stegen betraktas som tunn och jämntjock och homogen med massan m. Om stegen börjar glida vid tiden  t = 0  då  φ = φ₀ så ger energilagen

Eftersom

kan detta skrivas

För kommande behov noterar vi också att

Derivering av en tidigare ekvation ger

och därefter får vi tyngdpunktens acceleration i x-led:

Stegen släpper kontakten med väggen då  x”  = 0 ,  dvs  då  cos φ = 2/3·cos φ₀ ,  vilket betyder att stegens övre ände har glidit ner till en punkt på höjden 2/3 av den ursprungliga höjden över golvet.

Vid tillämpningen av energilagen har vi förutsatt att stegens nedre ände är i kontakt med golvet så länge den övre änden är i kontakt med väggen. Detta kan undersökas genom att studera funktionen  y”(t) .  Om  y”(t) > -g så verkar en kraft uppåt, dvs stegen vilar mot golvet.

Uttrycken för  φ’  och  φ”  insättes i uttrycket för  y” :

Då  cos φ  växer från  cos φ₀ till  2/3·cos φ₀ så avtar parentesuttrycket och får minsta värdet -1 då stegen släpper kontakten med väggen. Alltså är  y”(t) ≥ -3g/4  under den tid stegen berör väggen och den är alltså under hela denna tid i kontakt med golvet. – Vad som sedan händer kan inte bestämmes mha enbart energilagen. Återkommer ev till detta.

Ekvationen  y” = -3g/(4L)·sin φ  visar att stegens rotationsrörelse är densamma som för en matematisk pendel med längden  4L/3 .  Funktionen  φ(t)  erhålles därför lätt ur motsvarande funktion för den matematiska pendeln varefter även  x(t)  och  y(t)  och derivatorna kan bestämmas:

där modulen  k = sin(φ₀/2) .  1/√2 < k < 1  och  cd = cn/dn .

Med hjälp av

(minustecken eftersom  φ(t)  är en avtagande funktion av  t ) fås slutligen tiden från det att stegen börjar glida tills den tappar kontakten med väggen:

där modulen  k = sin(φ₀/2) .  1/√2 < k < 1 .

Elliptiska tillämpningar I

Matematisk pendel

Rörelseekvation:

Multiplikation av båda led med  φ’  ger

Vi betraktar nu en fjärdedels period, från läget längst ner,  φ = 0 ,  vid tiden  t = 0  till höger ytterläge,  φ = α ,  vid tiden  t = T/4 .  T är alltså svängningstiden. Eftersom  φ’ = 0  i ytterläget får konstanten  C värdet  -g/L·cos α  och den sista ekvationen ger

vilket naturligtvis också följer direkt ur energilagen. Denna ekvation ger

Eftersom  cos Φ – cos α = 2 sin²(α/2) – 2 sin²(Φ/2)  så ger variabelsubstitutionen  sin(Φ/2) = sin(α/2)·sin ψ

(Rättelse: 2g under första rottecknet ska vara 4g.) Speciellt ger  θ = π/2 ,  Φ = α  och därför  t = T/4  och svängningstiden blir alltså

Uttrycket för  t kan även skrivas

där  k = sin(α/2)  och mha av detta kan  φ(t)  uttryckas i sn-funktionen med modul  k = sin(α/2) :

Funktionen ligger mycket nära en sinusfunktion även vid amplituden 90°. Svängningstiden ökar mera påtagligt: vid 90° amplitud är den ca 18 % högre än vid små amplituder. Om pendelvikten är fäst i en stel stav så är en amplitud över 90° är möjlig. Vid 175° ser det ut så här:

Som jämförelse har även ritats in en sinuskurva (närmast t-axeln) med samma period och amplitud. Här har valts  L = g/(4π²) ,  dvs den längd som ger svängningstiden 1 s vid liten amplitud då  T ≈ 2π√(L/g) .

Svängningstidens variation med amplituden (normerad till 1 vid små amplituder):

Jakt och fiske

I Studio Ett idag (3 aug) diskuterades jakt och fiske med anledning av att sabotagen mot jägare och fiskare tycks ha ökat. Tidgare gällde det mest djurfabriker och pälsindustrin.

Jag tycker inte att sabotage är någon bra metod om inte annat så för att det leder allmänhetens sympatier åt fel håll, mot aktivisterna och inte för djuren. Det blir rentav aktionerna snarare än djurens situation som hamnar i fokus.

Med detta sagt låt oss ta en titt på vad jägare och fiskare har för sig och hur de försvarar sig något som framkom ganska väl i programmet. De säger samstämmigt att vi är en del av naturen. Somliga jagar eller fiskar, andra plockar svamp eller bär. Eller skådar fägel. Jo, de sa faktiskt så.

Vi kan alltså konstatera att de inte ser djur som individer med egen rätt att leva. Så säger de förstås inte. De undviker också nogsamt just ordet ”döda”. Dvs de flesta; jag föredrar (nästan) Jan Guillou som ärligt talar om att han tycker om dödandet som sådant. Men han är nog ett undantag. Och de övriga, menar de på fullt allvar vad de säger eller är det bara den obotfärdiges förhinder. Jag vet faktiskt inte; vågar inte ens gissa. Men det spelar ingen större roll. Det är deras handingar vi som försvarar djurens rättigheter är emot. – Dock häpnar man över argumenten.

Vi är en del av naturen säger man. Jägaren tillade att det inte är värre för älgen att bli skjuten än att bli attackerad av ett gäng vargar. Hmm…? Hur många vargar finns det i Sverige? 200? Och hur många jägare? Men om nu jägarna anser sig vara en del av naturen, varför flyttar de inte ut i skogen och dödar älgar med sina egna kroppskrafter? För jaktvapen är väl inte en del av naturen?

Sportfiske är på sätt och vis ännu värre. Dels utövas det av många fler, ca 2 miljoner, något som sportfiskeförbundet verkar se som ett agrument för verksamheten. Dels utövas det just som en sport och rentav ett folk- och familjenöje. Man planterar ju t o m ut fiskar för att det ska finna något att dra upp. Jägarna har ändå lite möjligt försvar i att det inte får bli för många älgar; inte heller tar de väl med småbarn på jakten. Inte mycket till försvar iofs.

Med detta sagt är det naturligtvis den industriella uppfödningen och slakten som är det stora problemet. Omkring 80 miljoner djur per år föds upp och dödas i Sverige för att ätas upp av oss. Trots att vi inte har något som helst behov av att äta kroppsdelar av döda djur (jag använder ingen omskrivning här).

Mycket passande publicerades idag en undersökning av de mentala förmågorna hos våra vanligaste ”matdjur”. Och resultatet var att desa djur står oss mycker närmare än vi kanske hade trott. Kan detta möjligen få oss att tänka en gång till på vad det är vi äter?

Politik och medicin

I diskussionen om omskärelse i Gomorron Världen (se förgående inlägg) frågade men sig också i förbigående om en läkare har rätt att vägra att utföra abort. Då det inte finns medicinsk grund alltså. Intressant fråga. För om det inte finns medicinsk grund, vad har då läkarna med saken att göra? Precis som i fråga om manlig omskärelse är väl en motivering att det är bättre att det genomförs på sjukhus än hemma. Och det är det naturligtvis. Men…?

Folk på vänsterkanten, dit jag räknar mig för det mesta, brukar förespråka rätten till fri abort. Jag är skeptisk till detta. Inte då det finns risk för moderns liv naturligtvis och det kan finnas en mängd andra situationer också. Men fri abort innebär väl att vad som helst duger, t ex att man kom på att man inte ville ha barn just då. Och det tycker jag inte är acceptabelt även om gränsen kan vara svår att dra.

Ofta sägs att kvinnan har rätt till sin egen kropp. Medges, men det är ju inte hennes kropp det handlar om! Det är ett annat levande väsen som för en tid lever i symbios med modern. Att dettas kropp byggs upp av materia från moderns kropp ändrar inte på detta faktum. Efter en viss tid är abort inte tillåten (utan vidare) och när barnet har fötts skulle det vara mord. Var går gränsen och varför? Varför är ”en del av moderns kropp” plötsligt en annan människans kropp efter ett visst antal veckor? Gränsen går där den medicinska vetenskapen kan få fostret att överleva. Alltså ingen absolut gräns utan en gräns som sjunker. Alltså kommer det som vid en tidpunkt är en del av moderns kropp inte att vara det när vetenskapen klarar lite till. Absurt.

Jag ansluter mig inte till någon särskild religion; kanske bäst att påpeka detta så att inte fel personer applåderar. Men jag tror på att inte döda i onödan. Det gör säkert de flesta men i den här frågan tycks den ”politiska korrektheten” spöka.

Politik, religion och medicin

En märklig diskussion om omskärelse av pojkar har förekommit i media de senaste dagarna med anledning av att sjukhusen ska bli skyldiga att utföra detta ingrepp något som en majoritet av läkarna motsätter sig. Från Expressens ledare, som bagatelliserar frågan) till SvD:s mera sansade blogginlägg:

För vad är det som gör att när det gäller kvinnlig omskärelse så diskuterar vi med argumentet ”kvinnans rätt till sin egen kropp” i högsta hugg, men när vi pratar manlig dito så är det huvudsakligen respekt för traditioner som anförs?

Ämnet togs också upp i P!:s Gomorron Världen igår (2 aug). Där var majoriteten, bla GP:s representant, för att sjukhusen ska utföra omskärelse och man ansåg dessutom att läkarna inte ska rätt att vägra! Naturligtvis är det bättre att det görs på sjukhus än hemma på köksbordet. Men varför ska det alls utföras? Det skrämmande är att religionsfrihet anförs som ett skäl. Men det är inga religiösa ”storheter” vad jag vet som säger detta; handlar det inte snarare om ”politisk korrekthet” (iofs varken bättre eller sämre)?

Samma personer skulle inte drömma om att försvara den kvinnliga motsvarigheten. Varför? Det handlar i båda fallen om övergrepp, mer eller mindre allvarliga men dock. Något som borde vara förbjudet ska inte bara vara tillåtet; läkarna ska vara tvungna att utföra det, utan medicinsk anledning, eftersom det annars ”görs hemma på köksbordet”! Absurt! Något som borde vara ett brott tillåts eftersom det inte kan (?) förhindras och inte nog med det; samhället ska hjälpa till.  Hur står det i läkarnas ed (den Hippokratiska eden)? Något i stil med att bota, lindra och trösta har jag för mig.

Religion och medicin

Igår 2 augusti skrev bl a DN så här om pappan som lät dottern dö:

En man i Wausau i USA-delstaten Wisconsin har dömts för mord på sin elvaåriga dotter som han lät dö i diabetes. Istället för att gå till doktorn bad han till Gud. Mannen riskerar nu upp till 25 års fängelse.

Kommentarerna lät inte vänta på sig. Intressant nog fanns det i stort sett två typer, av vad jag såg i tidningar och på bloggar. Dels från ”vanliga” kristna som tog avstånd från pappans handlande men (naturligtvis) menade att man kan be också. Dels från ateister som (naturligtvis) också tog avstånd från pappans handlande men som samtidigt passade på att dra alla religiösa över en kam, förlöjliga religion i allmänhet och (i ett fall) utpeka bön som ”ett gift” (förmodligen utan någon som helst kunskap i ämnet).

Däremot saknades såväl religiösa fundamentalister (lyckligtvis) som sansade ateister (beklagligtvis). För man kan väl vara ateist eller på annat sätt ta avstånd från religionen i princip utan att döma någon för vad andra har gjort? – Kort sagt, varför är ateisterna (de som syns i media) så aggressiva?

Betelgeuse

Ett antal bilder av jättestjärnan Betelgeuse har förekommit i media de senaste dagarna under rubriker som ”knivskarpa bilder”. Men den skarpaste bilden var alltså ”artist’s impression”, vilket kanske var lite förvirrande. Den skarpaste bilden är vad jag förstår den här, tagen med ESO:s teleskop i Chile:

Tidigare har tagits bilder mha Hubbleteleskopet:

Båda visar en (diffus) skiva till skillnad från de flesta stjärnor som blir punktformiga även i stora teleskop (frånsett diffraktionsskivor, vilka dock blir mindre ju större diameter teleskopet har). – Den tecknade bilden bygger förstås främst på astronomernas uträkningar av hur stjärnan bör se ut.

I artiklarna sägs att stjärnan är ”nära” att bli en supernova, vilket kan betyda många år. Men den tycks alltså befinna sig i slutfasen av sin existens. En supernova på det aktuella avståndet (ca 600 ljusår) skulle för oss ge en ljusstyrka mellan fullmånens och solens! Närmare solen tror jag efter lite överslagsräkning; magnituden bör bli under -20. Fullmånen har magnituden -12,6 och solen -26,73

Vetenskapsradion har en bra sida för den som vill läsa mer om Betelgeuse.

Elliptiska funktioner III – differentialekvationer

Derivering av båda led i ekvationerna

och användning av  cn x = √(1 – x²) ,  dn x = √(1 - k² x²) ger

Ytterliggare en derivering ger

respektive

Alltså är  sn x en lösning till differentialekvationen

y” + (1 + k²)y = 2k²y³

och  P(x)  är en lösning till

y” = 6y² – ½ g_{2  .}

Elliptiska funktioner II – Gauss och Weierstrass

(Rättelse den 31 juli: Ekv  sl²x = cn(K – x√2)  ska vara  sl x = cn(K – x√2) . )

Det var Gauss som började utveckla teorin för elliptiska funktioner och integraler. Han studerade först integralen av  1/√(1 – x⁴)  och en funktion sinus lemniscatus, förkortat sinlemn eller sl. definierad som inversen till (den ofullständiga) integralen:

Eftersom integralen kan transformeras till en integral av Legendre-typ finns det också ett  samband mellan sinlemn-funktionen och en Jacobi-funktion (modul 1/√2):

Weierstrass’ P-funktion är en elliptisk funktion vars invers definieras mha en integral av kvadratroten ur ett tredjegradspolynom (till skillnad från Gauss’ och Jacobis där integralen innehåller ett fjärdegradspolynom):

Här är g₂ och g₃ konstanter (parametrar) som karakteriserar funktionen; alltså två parametrar till skillnad från de tidigare funktionerna som har en, modulen k.

Ett allmänt sambandet mellan P-funktionen och sn-, cn- och dn-funktioner finns här. Vi verifierar ett specialfall med  g₂ =1, g₃ =0, k = 1√2  och börjar med att manipulera en integral:

Insättning av  a = P(x) ger därefter

På sista raden har använts ett allmänt samband  cn(K – x) = √(1 – k²)·sn x/dn x ,  som är en generalisering av  cos(π/2 – x) = sin x .  Parametervärdena för P-funktionen har skrivits ut medan modulvärdet  1/√2  är underförstått i Jacobifunktionerna. K betecknar som vanligt den fullständiga elliptiska integralen av första slaget med denna modul. Sambandet mellan P-funktionen för de aktuella parametervärdena och sn-funktionen påminner om det trigonometriska sambandet mellan  1/sin²x = 1 + cot²x . Sista ekvationen visar att  P(x|1,0) ≥ 1/2 ,  som förutsattes i härledningen för att integralerna ska bli reella.

Lemniskatan

(Uppdaterat den 25 juli)

Lemniskatan eller närmare bestämt Bernoullis lemniskata kallas en kurva med ekvationen  r² = c·cos(2Θ)  i polära koordinater. Så här ser den ut:

Konstanten c är en skalfaktor och är i fortsättningen lika med 1. Dess värde påverkar kurvans storlek men inte formen. Längden av denna kurva kan uttryckas med en elliptisk integral (big surprise!) som har förekommit i tidigare inlägg. I själva verket var det en av de första elliptiska integraler som studerades. Gauss fann ett samband mellan den och det aritmetisk-geometriska medelvärdet.

Nåväl, för den del av kurvan som ligger i första kvadranten är  0 ≤ Θ ≤ π/4 och hela lemniskatans längd L ges alltså av

eller, alternativt,

där K liksom tidigare är den fullständiga elliptiska integralen av första slaget med modulen  k = 1/√2 .

Längden av en godtycklig båge i första kvadranten från  Θ = 0  (längst till höger) till godtyckligt  Θ ,  0 ≤ Θ ≤ π/4 ,  är

Båglängden kan uttryckas på ytterligare ett sätt mha en ofullständig integral av första slaget med modul  k = 1/√2 ,

Detta kan visas mha en substitution  x² → 1 – x²  i integralen av  1/√(1 – x⁴) .

Rättelse: I sista integralen i näst sista ekvationen ska undre integrationsgränsen vara  √( cos(2Θ) / (1+sin(2Θ)) ) .  Det har alltså ”fallit bort” – som man säger – ett kvadratrotstecken.

Märklig galax

NASA har publicerat en bild av en galax som ser ganska speciell ut. Bilden är tagen med Spitzerteleskopet.

Förutom att se säregen ut är galaxen intressant genom att ha ett enormt svart hål i centrum, tror man. Det har iofs många galaxer, så även vår Vintergata, men i det här fallet är det svarta hålet något hundratal gånger större än normalt och omger sig med en likaledes enorm ring av materia. Det är detta som ger centrum av galaxen dess speciella utseende.

En tanke: Är det här svarta hålet så stort att man skulle kunna undersöka geometrin och tidens gång i omgivningen av horisonten och jämföra med teorin? Teorin, dvs den allmänna relativitetsteorin, beskriver rumtid-geometrin för ett roterande svart hål mha av den s k Kerrmetriken, som följer av en speciell lösning till Einsteins fältekvationer.