Tensor densities

(FB/Math/BM – Question by Vasudev Shyam)

Why is the completely antisymmetric unit tensor of fourth rank ε^iklm considered a pseudotensor?

____________________________________________

ε^iklm is a tensor density but I think ”pseudotensor” denotes the same thing. Also known as the Levi-Civita density after a mathematician.
———————–
ε^iklm is defined by ε¹²³⁴ = 1 and complete antisymmetry in every coordinate s…ystem in a 4-dimensional riemannian space. Now, under a coordinate transformation x → x’, a 4-th rank (contravariant) tensor A^iklm in such a space transforms as

(1) A”^iklm = Σ [pqrs] ∂x”ⁱ/∂x^p·∂x”^k/∂x^q·∂x”^l/∂x^r·∂x”^m/∂x^s·A^pqrs

and √g, where g is the determinant g of the metric tensor, transforms as

(2) √g” = J^-1·√g

where J is the Jacobian (aka functional determinant) of the coordinate transformation. If A is a tensor then √g·A is called a tensor density, and it transforms as

(3) √g’·A”^iklm = J·√g· Σ [pqrs] ∂x”ⁱ/∂x^p·∂x”^k/∂x^q·∂x”^l/∂x^r·∂x”^m/∂x^s·A^pqrs

if A is 4-th rank (contravariant) and similarly in other cases.

With A = ε the right hand side of (1) becomes

Σ [pqrs] ∂x”ⁱ/∂x^p·∂x”^k/∂x^q·∂x”^l/∂x^r·∂x”^m/∂x^s·ε^pqrs =

= ∂x”ⁱ/∂x¹·∂x”^k/∂x²·∂x”^l/∂x³·∂x”^m/∂x⁴∂x’i/∂x1·∂x’k/∂x2·∂x’l/∂x3·∂x’m/∂x4·1 + (perm)

if iklm are different, 0 else. There will be 24 terms with signs + or – because of the antisymmetry of ε, and only terms with different pqrs will be non-zero. This sum is equal to the Jacobian J of the transformation, so we get J·ε^iklm. But ε^iklm is defined to have the same values in all coordinate systems, i e ε’^iklm = ε^iklm so it das *not* transform as a tensor. Instead

Σ [pqrs] ∂x”ⁱ/∂x^p·∂x”^k/∂x^q·∂x”^l/∂x^r·∂x”^m/∂x^s·ε^iklm/√g =

= J·ε^iklm/√g = J·ε’^iklm/(√g’/J^(-1)) = ε’^iklm/√g’

so ε^iklm/√g is a tensor and thus ε^iklm a tensor density.

_________________________

The name ”tensor density” has to do with integration. The ”volume element” dⁿx is not invariant but dⁿx” = J·dⁿx (cf variable change in multiple integrals) and thus √g’·dⁿx” = J^-1·√g·J·dⁿx = √g·dⁿx so √g·d…ⁿx is invariant.

This implies that if A(x) is a tensor field then ∫ A(x) √g·dⁿx but *not*
∫ A(x) dⁿx is a tensor so to get a tensor by integration the integrand should be (tensor field)·√g, which appropriately is called a tensor *density*; it is a density with respect to the ”coordinate volume”.

tensor density = tensor·√g
(tensor density)/√g = tensor

In particular, in General Relativity, usuallully g < 0 so √(-g) is used instead of √g, and also n = 4. So if A(x) is a tensor (field) then A(x)·√(-g) is a tensor density under space-time coordinate transformations.

Mathematical pendulum

(FB/Math/BM – Question by Souradeep P.)

What would the equation of motion be for a real simple pendulum with frictionless pivot but non-negligible angular amplitude?

_____________________________________________

Let the angle from the direction downwards be φ(t) at time t, t = 0 at the lowest point and the amplitude φ₀. Since the pendulum is at rest at φ(T/4) = φ₀, where T denotes the period time, the energy law gives (pendul…um length L, mass m)

1/2 m (L dφ/dt)² + mgL(1 – cos φ) = mgL(1 – cos φ₀), from which

(L dφ/dt)² = 2gL(cos φ – cos φ₀)

dφ/dt = √(2g/L)·√(cos φ – cos φ₀)

∫ [0,φ(t)] dθ/√(cos θ – cos φ₀) = √(2g/L)·∫ [0,t] dτ

The integral is elliptic and cannot be expressed in elemntary functions but we get t as a function of φ(t),

t = √(L/(2g))·∫ [0,φ(t)] dθ/√(cos θ – cos φ₀), 0 ≤ t ≤ T/4.

Here the integral can be given ina standard form but to answer the question notice that the time asked for is T/4 corresponding to φ =φ₀ = π/2, i e

(*) T/4 = √(L/(2g))·∫ [0,π/2] dθ/√cos θ.

The substitution defined by 1 – x² = cos θ transforms the integral into
√2·K(1/√2), where K(k) ≡ ∫ [0,1] dx/√((1 – x²)(1 – k²x²)), 0 ≤ k < 1, is a standard form for a complete elliptic integral of the first kind. More generally, the period time for any amplitude φ₀ is given by

T = 4√(L/g)·K(k), where k = sin(φ₀/2). For small oscillations, φ₀ ≈ 0 we get the usual approximation T ≈ 4√(L/g)·π/2 = 2π√(L/(g).

In the particular case φ₀ = π/2 the integral in (*) also has a nice expression in terms of the gamma function,

(**) T/4 = √(L/g)·Γ(1/4)²/(4√π) ≈ 1.85·√(L/g).

Radius of curvature

Sourav Hom ChoudhuryMathematics

I hit upon this while solving a physics problem but it is essentially mathematical… Suppose I have a particle moving in the path y = f(x). The question asks to find the radius of curvature at x=c (the q stated x=0)….. Though it can be solved by me using centripetal force, the book stated another method of doing this.
The formula g…

Chain at rest

(FB/Math/BM – Problem posed by Sourav Hom Choudhury)

A frictionless curve in a vetical plane has the shape of a function graph which has its endpoints at the same height but is otherwise arbitrary. A chain of uniform mass per unit length rests on the curve from end to end. Show,
by considering the net force of gravity along the curve, that the chain will not
move.
_____________________________________________________

Let the curve have equation y = f(x), a ≤ x ≤ b, f(a) = f(b), the chain length L and mass m.

Consider any point P = (c,f(c) between the endpoints. The portion of the chain to the right of P is acted upon by the sum of the horizontal compone…nts of the weights of the parts of the portion of the chain to the left of P. Similarly for the force pushing from the right to the left.

A small segment of the chain in the x-interval Δx > 0 at x has the weight ΔF = (m/L)Δx·√(1 + f’(x)²)·g and the horizontal component of this to the right is ΔF|h = ΔF· sin v, where v is the direction angle between the positive x-axis and the curve. Then
sin v = Δy/Δx√(1 + f’(x)²) = = f’(x)/√(1 + f’(x)²), so
ΔF|h = (m/L)·Δx·√(1 + f’(x)²)·g · f’(x)/√(1 + f’(x)²) =
= mg/L · f’(x) Δx, so the total horizontal force is

mg/L*∫ [a,x] f’(σ) dσ = mg/L*(f(x) – f(a)).

Similarly the force from right to the left is

-mg/L*∫ [x,b] f’(σ) dσ = mg/L*(f(x) – f(b)).

These two forces are equal, since f(a) = f(b), and directed in opposite directions so a small section at P is acted upon by total force 0. Thus it doesn’t accelerate. Thus, if the chain is at rest at start the section will remain at rest. Since the chain (probably) is inelastic this implies that the whole chain is at rest.

_____________________________

That last comment on elasticity is unnecessary, since P is any point on the curve so the above shows that every small section of the chain is at rest.

Uniform Distribution of Points in a Sphere’s Surface

Internationella pi-dagen…

… inträffar nu på söndag 14 mars, dvs 03-14. Händelsevis råkar det även vara Einsteins födelsedag.

Triangelns vinkelsumma…

… är som bekant 180° i varje fall i euklidisk geometri. Men annars? Det beror på. Enligt Einsteins allmänna relativitetsteori är geometrin inte euklidisk i ett gravitationsfält. Vi ska ta en titt på vinkelsumman i en liksidig triangel med tyngdpunkten i solens centrum. Ett plan i rummet, genom solens centrum har då linjeelementet

om vi antar sfärisk symmetri. Detta kommer från Schwarzschilds linjeelement i rumtiden, i en hyperyta med konstant t, där vi betraktar ett plan med konstant θ= π/2. Metriska tensorn i detta plan beskrivs av matrisen

och eftersom denna är diagonalen är den inverterade matrisen helt enkelt

Härur kan Christoffelsymbolerna beräknas, vilka ingår i differentialekvationerna för geodeterna (dvs de ”räta” linjerna) i planet:

och övriga är noll. Den geodetiska ekvationen

ger

varav följer

där + gäller i φ-intervallet  π/3 → 2π/3  och – i intervallet  0 → π/3 och  a betecknar minsta r-värdet, vilket motsvarar   φ = π/3 . Vi studerar alltså ett område motsvarande 1/3 varv eller en triangelsida. Den spetsiga vinkeln vid ett hörn mellan en triangelsida och linjen från hörnet till origo, dvs halva triangelvinkeln betecknas ψ. Triangelns vinkelsumma (liksidig triangel!) är alltså 6ψ . Hörnets avstånd från origo (dvs r-koordinaten) betcknas  R . Då är

där  a bestäms av

Efter variabelsubstitutionen  r = a/σ  ger detta

Vi tittar nu på situationen att m << a, R varvid a ≈ R/2.

Om arcussinus- och kvadrotsfunktionen potenserieutvecklas kring a/R = 1/2 så fås i första approximation

varur

Här kan R löses ut i a eller omvänt:

Beroende på om den omskrivna eller den inskrivna cirkelns radie (R resp a) kan endera av dessa vara användbar. I uttrycket för tan ψ ingår bara kvoten R/a ≈ 2 + 3m/a enligt första ekvationen. Eftersom m << a får vi

Härur fås, mha taylorutveckling av arctan x kring x = π/6,

Slutligen är alltså triangelns vinkelsumma 6ψ ≈ π – 6√3·(2m/R).

Numeriskt exempel: För en liksidig triangel med hörnen på jordbanan är R ≈ 1,5·10¹¹ m och 2m ≈ 3,0·10³ m (Solens Schwarzschildradie) och vinkelsumman blir (π – 6√3·3,0·10³/(1,5·10¹¹))·180/π °  ≈  179.999988 ° .

En aning under det euklidiska värdet 180° således!

Forts följer…

Elliptiska tillämpningar V

Ljusets avböjning, forts

Avböjningen ges av

eller

där  ε = m/R .  För  m/R mellan  0  och  1/3  ger detta ett positivt  δ  och  δ → ∞  då  m/R → 1/3- .  Detta innebär att ljuset kan gå ett godtyckligt antal varv om bara minsta r-värdet  R är tillräckligt nära  3m .  Detta är möjligt för ett svart hål med radien (r)  2m men även en neutronstjärna kan ha radie  mindre än  3m (och större än  2m ).

Att närmaste vändpunkt ligger utanför händelsehorisonten för ett svart hål kan kanske verka överraskande. Men ljuset kan naturligtvis reflekteras och sedan röra sig utåt igen. Däremot kan inte ljus av sig själv vända på avståndet (r-värdet)  3m eller mindre; det finns ingen nollgeodet med denna egenskap. Några olika banor visas nedan med minsta  R = 3,05m då ljuset avböjs mer än ett helt varv.

Man kan nu fråga sig hur en ljusstråle ska riktas för att precis gå in i en spiralformad bana. Differentialekvationen

satisfieras av funktionerna

och av den konstanta funktionen  r(θ) = 3 .

Den sistnämnda betyder en cirkelbana med radien  3m ,  dvs ljuset kan röra sig i en cirkel runt en kropp med radie mindre än  3m ,  exempelvis ett svart hål. För de övriga lösningarna väljer vi  A = 5  och minustecken i exponenten. Dessa val bestämmer bara var 0-linjen för de polära koordinaterna ska ligga samt i vilken riktning vinkeln ökar. Bankurvan är densamma. Valet av minustecken gör att  θ  ökar i positiv led som vanligt och valet  A = 5  betyder att  r(0) = 18, som är det minsta möjliga värdet som är heltal och sådant även A är ett heltal. Vår funktion kan med detta val av polära koordinater skrivas

där man lätt ser att  r(θ) > 3  och att  r(θ) → 3  då  Θ → ∞ . Kurvan närmar sig alltså obegränsat cirkeln med radie 3 längs en spiral. Den riktning från vilken ljusstrålen kommer bestäms av att nämnaren i föregående uttryck är noll, vilket ger  θ = ln(2/5 + √3/5) ≈ – 0,29248 (radianer) ≈ -16,76° .  Så här ser bankurvan ut för polära vinklar från detta värde till 5π, dvs två och ett halvt varv från 0-linjen:

För att se båda varven krävs dock en förstoring. Delförstoring som visar kurvan efter ett och två varv, räknat från nollinjen:

För ett svart hål med solens massa innebär detta att ljuset två varv efter nollinjen befinner sig knappt en centimeter utanför händelsehorisonten! Därefter minskar detta avständ med en faktor drygt 500 för varje varv.

Den riktning ljuset ska komma ifrån för att gå in i en spiralbana angavs ovan. Men det är är inte så lätt att skicka iväg en ljusstråle från oändligt avstånd. Antag att vi vill sitta på ändligt avstånd, exempelvis  där  r = 18  och sända iväg en ljusstråle i spiralbana. Hur ska vi då sikta? Exempelvis, i vilken spetsig vinkel  α  med en rät linje till kroppens centrum ska vi sikta?

Om spiralens ekvation i närheten av startpunkten  r = r₀ är  y = f(x)  så är  α = π – arctan f ’(r₀) .  Men

f ’(x) = D_x (r(θ)sin θ) = D_θ (r(θ)sin θ) / dx/dθ =

= D_θ (r(θ)sin θ) / d(r(θ)cos θ)/dθ

som, eftersom  r = r₀ motsvarar  θ = 0 ,  ger

f ’(18) = r(0) / r’(0) = -3/10.  Alltså är  α = arctan(3/10) ≈ 16,70° .  Detta är, som sig bör, aningen mindre än vinkeln |ln(2/5 + √3/5)| ,  alltså den vinkel som ljusets riktning ”oändligt långt bort” bildar med 0-linjen.

Anm: Med avstånd menas r och vinklarna avser vinklar i en figur där koordinaten r återges som avståndet från origo, vilket också har gjorts i figurerna – icke-euklidisk geometri!

Nobelpriset i fysik 2009

Årets pris verkar väl mer belöna uppfinningar än upptäckter inom fysiken. Men i Nobels testamente sägs ju att prisen ska gå till dem som har gjort den största nyttan osv, så med tanke på det är inget att invända. Priset belönar forskning som ligger bakom kommunikation mha fiberoptik och digitalkameran. Den som läser detta utnyttjar förmodligen fiberoptik för att nämna ett exempel.

Å andra sidan hade jag som teoretiker med intresse för fundamentala frågor hoppats att Aspect (flera gånger tippad) skulle få priset för den experimentella bekräftelsen på ”quantum entanglement” (känner inte till något vedertaget svenskt uttryckt). Detta är ett fenomen som Einstein, Podolsky och Rosen behandlade i ett berömt arbete redan 1935. Deras avsikt var att påvisa kvantmekanikens orimlighet. I stället visade Aspects experiment att effekten finns. Effekten är numera – till skillnad från 1935 – välkänd för alla som har studerat kvantmekanik. Så Aspects resultat var väntat men ändå anmärkningsvärt. Visserligen är ”entanglement” fundamentalt i kvantmekaniken men att ”se” fenomenet i stor skala, inte bara på atomnivå, är ändå intressant och en grundlig vederläggning av EPR:s uppfattning samtidigt som det bekräftar deras beräkning! – Einstein, som ju aldrig blev övertygad om den gängse tolkningen av kvantmekaniken, får ursäkta så länge. ”Entanglement”-fenomenet som sådant lär vi inte komma förbi men det Einstein främst vände sig mot var indeterminismen och den kan man fortfarande betvivla – med lite god vilja. 

För övrigt anser jag att ekonomipriset bör plockas bort från Nobelprisutdelningen. Något sådant pris nämns inte i Nobels testamente och belöningen kommer ju heller inte från avkastningen av Nobels förmögenhet. Frasen ”till Alfred Nobels minne” hindrar inte att någon tycks delta i fel tillställning. Som att dyka upp på en privat fest man inte är bjuden till. – Att detta pris ofta har en politisk anstrykning samtidigt som det tycks göra något slags anspråk på vetenskaplighet är iofs en annan sak men gör inte tilltaget trevligare.

Den 26 september 1905…

… publicerade tidskriften Annalen der Physik en artikel med titeln Zur Elektrodynamik bewegter Körper, skriven av den då tämligen okände Albert Einstein. Den utgör tillsammans med en följande artikel i samma tidskrift, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?, det väsentliga av vad vi nu kallar för den speciella relativitetsteorin. Den andra artikeln innehåller den första (approximativa) härledningen av sambandet  E = mc². Fortsättning följde i ett stort antal publikationer och inom några år var Einstein känd och berömd bland fysikerna. Hans berömmelse bland allmänheten dröjde dock till 1919.

Einstein fick 1922 års nobelpris för sin teori för den fotoelektriska effekten, även den från 1905. Detta var naturligtvis välförtjänt men ändå är det anmärkningsvärt att han inte fick priset för relativitetsteorin, som tydligen inte vetenskapsakademins ledamöter förstod!

Alla Einsteins publikationer i Annalen der Physik, inklusive de ovannämnda, finns för gratis (och helt laglig) nedladdning på nätet. De är skrivna på tyska men en del finns översatta till engelska i The Principle of Relativity:

Einsteins publikationer från 1905 till 1915 och därmed också en översikt över relativitetsteorins framväxt finns beskrivna i The Einstein Decade (1905-1915):

Dessa båda böcker kan köpas antikvariskt, exempelvis från AbeBooks.

För den som vill ta del av de fullständiga originalartiklarna under dessa år går de att få tag i på universitetsbibliotek. I de flesta fall får man dock vara beredd att läsa dem på tyska; bara de mest avgörande finns översatta. Å andra sidan får man då Einsteins egna ord.

Elliptiska tillämpningar IV

Ljusets avböjning

Ljus från avlägsna stjärnor, som passerar intill solen kommer att avböjas 1,75 bågsekunder enligt den allmänna relativitetsteorin. Detta beräknades av Einstein och bekräftades vid mätningar i samband med en total solförmörkelse år 1919.

Avböjningen är (i radianer) ungefär  4m/R där  m = GM/c² ,  M är solens massa,  R dess radie,  G Newtons gravitationskonstant och  c ljusets fart i vakuum. Uppmätta värden finns här respektive här. (Det ska kanske påpekas att enheten meter numera definieras så att det angivna värdet på  c är exakt.)

Vid sfärisk symmetri, vilket vi antar, beskrivs gravitationsfältet i vakuum av Schwarzschilds metrik, som också bestämmer linjelementet ds:

Banan för en ljusstråle i ekvatorialplanet (θ = 0) beskrivs av differentialekvationen

där  u = 1/r (se t ex Lawden, Introduction to Tensor Calculus and Relativity). Konstanten a beror på det minsta r-värdet R enligt

Om vinkeln φ mäts från punkten närmast kraftcentrum (t ex solen) och avböjningen betecknas δ så ger differentialekvationen

där

Alternativt kan man uttrycka δ som en elliptisk integral av Jacobityp genom variabelsubstitutionen u = 1/r i första integralen ovan eller genom att använda funktionen r(φ) i stället för u(φ) i differentialekvationen. Bådadera ger

där

En transformation

där

överför integralen i

(Cayleys metod). Här är

och

Ett par enkla omskrivningar ger

där

Substitutionen  z → u där  p – z² = (p – q)u²  ger slutligen

där integralen är en ofullständig elliptisk integral av första slaget. Alternativt kan man skriva

Såväl Weierstrass- som Jacobiintegralens integrander har en singularitet i integrationsintervallets ena ändpunkt. Denna försvårar en direkt numerisk integrering, även med hjälpmedel som Derive men elimineras genom en partiell integrering; i princip som

För solens del får man, efter multiplikation med 180/π·3600,  δ ≈ 1,75  bågsekunder för ljus som passerar alldeles intill solen. För små värden på  m/R är  δ ≈ 4m/R ( i radianer), dvs avböjningen är ungefär omvänt proportionell mot R. Detta utnyttjas i praktiken då man mäter på stjärnor, som syns på varierande avstånd från solen. Denna approximation kan man direkt härleda ur differentialekvationen för ljusets rörelse (vilket ofta görs i läroböckerna) men också från endera av våra integraler.

Vi använder den första integralen, vilket verkar enklast:

Variabelbytet  w = uR ger

Här kan den andra faktorn i integranden utvecklas i potensserie i  m/R ,  varefter koefficienterna ger elementära integraler i  w .  Till och med ordning 3 ger detta

där första termen i högerledet är den tidigare nämnda första approximationen. för avböjning vid solen räcker denna mer än väl. Vid mera extrema fall, såsom avböjning av ljus vid svarta hål eller neutronstjärnor är antagligen de fullständiga integraluttrycken lämpligast att använda, ev i kombination med numeriska metoder för integralberäkning. – Återkommer till detta.

Elliptiska tillämpningar III

Glidande stege utan vägg

Detta är en variant på det tidigare problemet med en glidande stege. Vi antar nu att inte bara friktionen utan också väggen försvinner. Något skruvat kan det tyckas men en intressant övning.

Energilagen ger

där  φ₀ = φ(0)  är vinkeln vid tiden  t = 0  då stegen släpps. I detta fall är  x(t) = o  för alla t, eftersom ingen kraft verkar i x-led då det inte finns någon friktion; frånvaron av friktion gör alltså att tyngdpunkten rör sig vertikalt vid start från vila. För tyngdpunktens y-koordinat gäller

Insättning av uttrycket för  y”  i första ekvationen ger

och mha av detta kan exempelvis tiden T tills stegen ligger på golvet beräknas:

I figuren nedan har valts  L/g = 1  i SI-enheter, dvs en närmare 10 m lång stege. Den vertikala linjen är en asymptot vid startvinkeln  90°.

Här har förutsatts att stegen inte tappar kontakten med golvet. För att visa detta visar vi att  y”(t) > -g för alla t. Derivering av uttrycket för  φ’  och insättning av  φ’  och  φ”  i uttrycket för  y”  ger

Sätt här  cos²φ = 1 – sin²φ  och därefter  x = sin φ ,  k = sin φ₀ ,  vilket ger

där  0 < k < 1 ,  0 < x < k .  Högerledets derivator med avseende på  x respektive  k är båda noll om och endast om  k = x = 0 .  Uttryckets minsta värde i triangelområdet  0 ≤ k ≤ 1 ,  0 ≤ x ≤ k antas därför på randen. Man visar lätt att uttrycket antar (alla) värden i intervallet  [-3g/4, 0] på två av triangelns sidor. På den tredje sidan,  k = 1 för alla x ,  blir räkningarna lite krångligare. Det visar sig att  x = (2√3/9 – 1/3)^1/3 – (2√3/9 + 1/3)^1/3 + 1 ≈ 0,4766644911  ger ett minsta värde, som ligger mellan  -0,83g 0ch  -0,84g .  Alltså är  y”(t) > -0,84g > -g för alla aktuella  t . I nedanstående figur visas några nivåkurvor:

Figuren antyder (för att nu inte säga för mycket) att  y”(t) > -0,9g .

Rättelse: På första raden i beräkningen av T fattas dφ i integralen.

Elliptiska tillämpningar II

Glidande stege

(Uppdaterat den 9 aug)

(Tack till Tomas C, LTH för problemställningen.)

En stege står lutad mot en vägg. Friktionen mot vägg och golv försvinner plötsligt. I vilket läge släpper stegen kontakten med väggen?

Ett orealistiskt problem kan tyckas men en nyttig övning. Och lösning av realistiska problem börjar ju ofta med en idealisering.

Stegen betraktas som tunn och jämntjock och homogen med massan m. Om stegen börjar glida vid tiden  t = 0  då  φ = φ₀ så ger energilagen

Eftersom

kan detta skrivas

För kommande behov noterar vi också att

Derivering av en tidigare ekvation ger

och därefter får vi tyngdpunktens acceleration i x-led:

Stegen släpper kontakten med väggen då  x”  = 0 ,  dvs  då  cos φ = 2/3·cos φ₀ ,  vilket betyder att stegens övre ände har glidit ner till en punkt på höjden 2/3 av den ursprungliga höjden över golvet.

Vid tillämpningen av energilagen har vi förutsatt att stegens nedre ände är i kontakt med golvet så länge den övre änden är i kontakt med väggen. Detta kan undersökas genom att studera funktionen  y”(t) .  Om  y”(t) > -g så verkar en kraft uppåt, dvs stegen vilar mot golvet.

Uttrycken för  φ’  och  φ”  insättes i uttrycket för  y” :

Då  cos φ  växer från  cos φ₀ till  2/3·cos φ₀ så avtar parentesuttrycket och får minsta värdet -1 då stegen släpper kontakten med väggen. Alltså är  y”(t) ≥ -3g/4  under den tid stegen berör väggen och den är alltså under hela denna tid i kontakt med golvet. – Vad som sedan händer kan inte bestämmes mha enbart energilagen. Återkommer ev till detta.

Ekvationen  y” = -3g/(4L)·sin φ  visar att stegens rotationsrörelse är densamma som för en matematisk pendel med längden  4L/3 .  Funktionen  φ(t)  erhålles därför lätt ur motsvarande funktion för den matematiska pendeln varefter även  x(t)  och  y(t)  och derivatorna kan bestämmas:

där modulen  k = sin(φ₀/2) .  1/√2 < k < 1  och  cd = cn/dn .

Med hjälp av

(minustecken eftersom  φ(t)  är en avtagande funktion av  t ) fås slutligen tiden från det att stegen börjar glida tills den tappar kontakten med väggen:

där modulen  k = sin(φ₀/2) .  1/√2 < k < 1 .

Elliptiska tillämpningar I

Matematisk pendel

Rörelseekvation:

Multiplikation av båda led med  φ’  ger

Vi betraktar nu en fjärdedels period, från läget längst ner,  φ = 0 ,  vid tiden  t = 0  till höger ytterläge,  φ = α ,  vid tiden  t = T/4 .  T är alltså svängningstiden. Eftersom  φ’ = 0  i ytterläget får konstanten  C värdet  -g/L·cos α  och den sista ekvationen ger

vilket naturligtvis också följer direkt ur energilagen. Denna ekvation ger

Eftersom  cos Φ – cos α = 2 sin²(α/2) – 2 sin²(Φ/2)  så ger variabelsubstitutionen  sin(Φ/2) = sin(α/2)·sin ψ

(Rättelse: 2g under första rottecknet ska vara 4g.) Speciellt ger  θ = π/2 ,  Φ = α  och därför  t = T/4  och svängningstiden blir alltså

Uttrycket för  t kan även skrivas

där  k = sin(α/2)  och mha av detta kan  φ(t)  uttryckas i sn-funktionen med modul  k = sin(α/2) :

Funktionen ligger mycket nära en sinusfunktion även vid amplituden 90°. Svängningstiden ökar mera påtagligt: vid 90° amplitud är den ca 18 % högre än vid små amplituder. Om pendelvikten är fäst i en stel stav så är en amplitud över 90° är möjlig. Vid 175° ser det ut så här:

Som jämförelse har även ritats in en sinuskurva (närmast t-axeln) med samma period och amplitud. Här har valts  L = g/(4π²) ,  dvs den längd som ger svängningstiden 1 s vid liten amplitud då  T ≈ 2π√(L/g) .

Svängningstidens variation med amplituden (normerad till 1 vid små amplituder):

Brokonstruktion

Under rubriken Sveriges vackraste vägar utses i SvD (nätupplagan) hittade jag den här bilden:

Och vad tänker då vi matematikentusiaster på när vi ser en sådan bild? Just det – cosinus hyperbolicus. Eller fanns det fler förslag? Ok, den är ganska lik en parabel…

Rättare sagt det bör vara en cosh-kurva eftersom de tryckkrafter som verkar inuti i den bågformade delen då är riktade tangentiellt, dvs inuti spannet så att detta inte tenderar att brytas. Av samma anledning är det ganska svårt att knäcka ett ägg genom att trycka i längdriktningen.

En fritt upphängd, tunn, jämntjock, böjlig lina eller kedja antar samma form eftersom krafterna längs linan annars skulle vara riktade i sidled och tendera att ändra formen. I detta sammanhang kallas kurvan även en katenaria (eng catenary) eller kedjelinje.

Elementarpartiklar

Någon som undrar hur länge en pion (π-meson) lever? Eller en myon; dennas livstid spelade en roll för den experimentella bekräftelsen av tidsdilatationen i den speciella relativitetsteorin.

Det mesta i den vägen publiceras årligen av PDG, Particle Data Group och finns numera också på nätet.

Man säger ofta partikel i stället för elementarpartikel. Förutom att det inte är ett så långt ord kan väl en orsak vara att de flesta partiklar som studeras inom partikelfysiken inte är elementära. Så långt vi nu vet finns det tre grupper av elementära partiklar. Två grupper är kvarkar och leptoner av vilka tre bygger upp materien (u- och d-kvarkarna och elektronen) . Den tredje gruppen består av partiklar som förmedlar växelverkan (krafter), fotonen, W- och Z-bosonerna, gluonerna och gravitonen (den sistnämnda ännu ej upptäckt). Totalt 60 stycken (eller 61 om man räknar in gravitonen) om man räknar med alla kvark- och leptontyper, ”färger” för kvarkar och gluoner och antipartiklar. Härutöver tror de flesta partikelfysiker att det även finns ett antal Higgspartiklar.

Bland leptonerna finns den ovan nämnda myonen (samt elektronen och tau-partikeln). Higgspartiklarna hoppas man hitta när LHC kommer igång. Förutom de elementära partiklarna finns ett omfattande menageri av sammansatta partiklar, exempelvis protonen och neutronen som vardera består av tre kvarkar, 2u och 1d respektive 1u och 2d.

Nedanstående översikt i större (läsligt) format finns här.

Big Physics II – LIGO

I ett tidigare inlägg (8 maj) nämndes LISA, den enorma detektorn för gravitationsvågor. Inte fullt så stor är LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory), som dessutom är jordbunden och redan i funktion. Instrumentet är en interferometer, som i princip jämför tiden för ljus att röra sig längs lika långa sträckor som bildar rät vinkel:

Om en gravitationsvåg passerar så påverkas dessa sträckor olika mycket och därmed ljusets gångtid. Effekten är ytterst liten – en bråkdel av en protondiameter! För att uppnå den enorma noggrannhet, som krävs används interferens mellan ljussignalerna för att jämföra deras gångtider.

Förutom att upptäcka gravitationsvågor hoppas man liksom med LISA kunna ”öppna ett nytt fönster” för astronomiska observationer. Mer att läsa finns här och det har även getts ut en populärvetenskaplig bok som behandlar gravitationsvågor och de aktuella försöken att detektera dem:

Gud finns nog inte VII – Vetenskap mm

Ateister som hänvisar till vetenskapen, främst naturvetenskapen, både över- och underskattar denna.

Överskattar genom att bortse från vetenskapens inneboende begränsning alltsedan Galileis tid. Samma begränsning som har gjort naturvetenskapen så framgångsrik har också definitionsmässigt stängt av den från allt annat än det som kan vägas och mätas (sekundära kvaliteter). Å andra sidan underskattar eftersom den bild som speciellt fysiken har skapat av materien är högst sofistikerad och inte låter sig användas till alltför enkla materialistiska förklaringar. Detta har samtidigt fått många framstående fysiker att tycka sig ana en tanke bakom världsalltet.

Einstein har tidigare nämnts. Han är även känd för sitt uttalande ”Gud kastar inte tärning”, på tal om kvantmekanken, som han ifrågasatte. Stephen Hawking avslutar sin bestseller A Brief History of Time med att då vi finner den eftersökta teorin för allting så ”tänker vi Guds tankar”. – Beträffande Einstein finns en intressant analys i Einstein and Religion. (Det kan inom parentes nämnas att Amazon har en särskild Hawking-sida.)

Kan man nu ta sådana yttranden på allvar? Även stora tänkare kan väl slira iväg? – Det kan de men det är inte bara dessa lösryckta citat. Einstein förklarade att vad som verkligen intresserade honom var huruvida Gud hade något val då ”han” skapade världen. Och hela hans tänkande, som har blivit modernt inom fysiken de senaste decennierna, arbetar efter denna tanke. – Hans fältekvationer för gravitationsfältet, publicerade 1915, är exempelvis (nästan) de enda möjliga. Det finns alltså en ”anledning” till att de ser ut som de gör. Han utvecklar detta närmare i en berömd föreläsning där han bl a säger så här:

”In the paucity of the mathematically existent simple field-types and of the relations between them, lies the justification for the theorist’s hope that he may comprehend reality in its depths.”

Det positiva utfallet av solförmörkelseobservationerna 1919 (se tidigare inlägg) kommenterade han med att teorin måste vara riktig och att han skulle beklaga Gud om ”han” inte hade använt sig av denna möjlighet!

Vem vill inte ha Einstein och Hawking i sin klubb? Men det är nog lika svårt för ateister som konventiella religiösa att få dem som medlemmar.

Vi börjar närma oss slutet på den här tråden. Ateisternas hänvisning till vetenskapen håller inte, snarare tvärtom. Något bevis för att Gud finns kommer naturligtvis inte heller från vetenskapen. Möjligen ett indicium och en uppmaning: Var försiktiga med förenklingar.

Av en tillfällighet startade den här tråden med FH:s kampanj. Kanske rättvist att sluta där också. Deras huvudsyfte verkar inte vara frågan om Gud finns även om de mycket stämt säger nej. Tyvärr på ett sätt som mest avlöjar okunnighet om såväl vetenskap som religion.

Men främst talar de om den skada som de menar att religionen gör. Och här är argumenteringen inte bättre, snarare sämre. De verkar styras av en allmän avsky (för att inte använda ett starkare ord) för allt vad religion heter och de drar en gränslinje mellan ”gott” och ”ont” som placerar religionen på ena sidan och ateisterna på den andra.

Det är ju minst sagt förenklat. Att det finns gott och ont i båda lägren är så uppenbart är det är närmast pinsamt (för FH alltså) att det ska behöva påpekas. Och därmed faller det sista de har att komma med. – Men, som sagt, FH är bara en sekt bland andra. Att de inte har något nämnvärt att komma med förtar naturligtvis inte intresset för saken som sådan.

Téodiceproblemet då? Hur kan Gud om han är god och allsmäktig tillåta allt ont? De traditionella religionerna tycks inte ha något svar på detta medan ateisterna naturligtvis klarar sig den gången. Nå, det får bli en annan gång, kanske, för då kommer vi in på Guds egenskaper och det blir ett nytt ämne. Här har det gällt ”hans” existens. – Nu ska jag koppla av med några vackra integraler.

Och svaret då? Ja det får väl med reservation för att att det givetvis inte finns något (objektivt) bevis bli att Gud finns nog.

Einsteinringar

Såväl Einsteinkors som Einsteinringar är resultatet av att ljuset från avlägsna objekt avböjs av annan materia nära synlinjen. För att det ska bli en ring krävs ett symmetriskt avböjande objekt som ligger väldigt precis på synlinjen. Korsliknande bilder blir resultatet vid mera osymmetriska avböjande objekt. De behöver inte heller ligga fullt lika exakt på synlinjen.

Einstein, som i princip förutsade effekten trodde, dock inte att man i verkligheten skulle få se den, enligt en artikel, som han skrev 1936:

”Of course, there is no hope of observing this phenomenon directly. First, we shall scarcely ever approach closely enough to such a central line. Second, the angle β will defy the resolving power of our instruments.”

Där ser man! Inte ens Einstein kunde förutse utvecklingen av astronomiska instrument och observationsmetoder.

Extragalaktiska planeter?

Exoplaneter, alltså planeter som rör sig kring andra stjärnor än vår egen sol har man hittad några hundra. Alla dessa rör sig kring relativt närbelägna planeter i vår egen galax (Vintergatan). Men nu tycks det som om man har hittat en planet kring en stjärna i Andromedagalaxen, M31 (dvs nr 31 i Messiers katalog).

Med tanke på att upptäckten av de övriga exoplaneterna ligger på gränsen till vad som kan mätas verkar detta smått otroligt. Men kanske ändå möjligt. Man utnyttjar ”gravitational microlensing”, alltså att ljus från stjärnan avböjs runt planeten, en effekt av gravitationen som förutsades av Einstein mha hans gravitationsteori, den sk allmänna relativitetsteorin.

Denna avböjning har iakttagits i många sammanhang, kanske det mest spektakulära är hur ljuset från mycket avlägsna kvasarer avböjs av närmare belägna galaxer så att vi ser flera bilder av kvasaren. Sådana bilder kallas ibland, pga av sitt utseende för Einsteinkors.

Nåväl, avböjningen fungerar bättre på långa avstånd än på kortare. Detta skulle göra det rimligt att man har kunnat ta steget till an annan galax i sökandet efter exoplaneter. Man skulle kanske kunna tro att en teknik som klarar detta skulle göra det lättare att hitta mer närbelägna exoplaneter men så är det alltså inte. För den som vill titta lite närmare på den teoretiska sidan av saken finns en artikel i arXiv, Internets preprintarkiv.

Apropå Messiers katalog: Ytterligare en sida för den som vill titta på vackra bilder. Hos Amazon finns en bok om den berömda katalogen.

Andromedagalaxen: