Potenser

I ett tidigare inlägg nämndes att ex > xe utom just för x = e. Men hur förhåller dig sig då om vi byter ut e mot något annat tal a (vi håller oss tills vidare till positiva värden på såväl a som x och a > 1)? Undrar naturligtvis den vetgirige. 🙂

För x = a gäller naturligtvis likheten ax = xa men det visar sig att det finns ytterligare ett positivt x-värde för vilket denna likhet gäller (förutom om a = e alltså). Något enkelt sätt att räkna ut och ange detta värde känner jag dock inte till; en möjlighet är att använda Lagranges inversionssats men det är inte så värst enkelt och resultatet, i form av en serie med krångliga koefficienter, är inte direkt snyggt. Fallen a = 2 och a = 4 (se figuren nedan) är undantag, som hänger samman med att 24 = 42. Talen 2 och 4 är de enda olika, positiva heltal, som har denna egenskap.

Hur som helst finns det tydligen ett ändligt intervall där den omvända olikheten ax < xa gäller, ett intervall som alltid innehåller talet e. – Det är bara för talet e, som detta inte gäller och detta är alltså en egenskap hos talet e; en av de många egenskaper som utmärker detta viktiga tal.

Slutligen kan man utsträcka resonemanget till alla reella x, förutsatt att a är ett positivt heltal. Det visar sig då att om a är jämnt så finns det även ett negativt x för vilket ax = xa. Detta x kan, åtminstone för vissa a, uttryckas med hjälp av Lamberts W-funktion. För positivt heltalsvärde på a har alltså ekvationen ax = xa tre reella lösningar om a är jämnt annars två.

graf2xx2

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: