Pythagoras sats

Den måste naturligtvis dyka upp! Och nu var det dags. Minns inte varför men av någon anledning kom jag att tänka på den och en blogg är ju just till för detta, alltså att skriva ner smått och gott som man råkar tänka på; eller vad man nu sysslar med. Det är inte nödvändigt att tänka hela tiden även om en del av oss har svårt att låta bli. Hjärnan vill ha roligt. 🙂

”Alla” känner naturligtvis till satsen. Varför vet jag inte men den spelar en viktig roll i matematik och fysik och även i praktiska problem.

Ett praktiskt exempel: Hur långt bort ser man horisonten från en viss höjd. Detta och många liknande problem löses enkelt genom att man lägger in en lämplig rätvinklig triangel.

Andra tillämpningar: Avståndsformeln i analytisk geometri, pythagoreiska tal, existensen av irrationell tal (se nedan), mm, mm,…

Huruvida satsen bevisades av Pythagoras och är väl oklart men pythagoreerna kände i varje fall till den och troligen var den känd ännu tidigare (Pythagoras levde omkring 500 f Kr) i Indien och Kina och kanske Egypten i varje fall i specialfall; tänk på den egyptiska triangeln med sidorna 3, 4, 5.

Pythagoreerna var lika mycket filosofer som matematiker. En av deras idéer var att alla mått kan uttryckas med heltal. Men med hjälp av just Pythagoras sats kunde de bevisa att diagonalen i en kvadrat är inkommensurabel med sidan. Detta betyder att det inte finns något längdmått som får plats ett helt antal gånger längs såväl diagonalen som sidan. Vi brukar uttryckte detta som att talet √2 är irrationellt. Tilldragelsen lär dels ha hemlighållits, dels firats genom offrande av 80 oxar.

Bevisen för satsen är många och ett eller ett par brukar man ta upp i gymnasieundervisningen. Flera hundra har tänkts ut och och publicerats, låt vara att många av dem är ganska snarlika. Den största samlingen finns nog i en bok av Elisha Loomis, som dock är svår att få tag i; man få den begagnad genom Amazon men den är dyr.

Ett av de enklaste bevisen bygger på likformighet men det var inte detta som Euklides ursprungligen publicerade. Hans krångligare bevis bygger på kongruens, vilket har fördelen att det kan tas upp mycket tidigare i texten; satsen behövs långt innan man, dvs Euklides, kommer till likformighetsbegreppet exempelvis vid undersökning av cirklar, som i exemplet med horisontens avstånd.

En samling på ”bara” 81 bevis finns på nätet.

Framsidan på Loomis bok:

pyth

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: