Integraler och e

I förgående inlägg användes en integral för att visa att π < 22/7. Med andra liknande integraler kan man få fram uppskattningar även neråt samt högre noggrannhet. I dessa fall har potenserna i täljaren exponenten en heltalsmultipel av 4. Med andra exponenter får man ln 2 eller en kombination av ln 2 och π. Ett exempel av varje:

intln

Att det blir enbart ln 2 men inget π i första fallet förklaras av att polynomdivisionen ger resten  2x/(1 + x²), som har en primitiv funktion  ln(1 + x²).

I förra inlägget förekom också en integral som hade värdet  π/e. Nämnaren  1 + x²  kan väl tänkas förklara π:t men var kommer e ifrån? – Se där ännu ett mysterium av avnjuta! 🙂

Täljaren är cos x, som med hjälp av en av Eulers formler kan skrivas

cos x = (eix + eix)/2.

Detta är i och för sig bara en enkel omskrivning av definitionen av exponentialfunktionen med imaginär exponent, eix = cos x + i sin x, men denna definition kan utvidgas till godtyckliga komplexa z och därmed definieras cos z för alla komplexa z. Inte nog med det, det blir en s k analytisk funktion och därmed kan det maskineri som kallas residukalkyl utnyttjas. Utan att gå in på detaljer innebär detta att man betraktar värden av integranden även för icke-reella värden z på den oberoende variabeln. Och för, låt oss säga z = i, får vi

cos i = (ei·i + ei·i)/2 = (1/e + e)/2

och här dyker alltså e upp i full frihet, dvs inte kamouflerat i eix!

Wikipediasidorna som jag har länkat till i det här inlägget kan användas för en allmän orientering men de är tidvis inte speciellt stringenta. Rekommenderas inte som kursmaterial! 😦

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: