von Kochs kurva

Cantormänden konstruerades (se tidigare inlägg) genom att avlägsna mellersta tredjedelen av en enhetssträcka, därefter mellersta tredjedelen av de återstående delarna, osv. Om man istället byter ut den mellersta tredjedelen mot två tredjedelssträckor, som då måste placeras i vinkel för att få plats, och upprepar detta ”oändligt många gånger” får man von Kochs kurva.

vonkoch

Den slutliga kurvan är en fraktal. Den kan tänkas sammansatt av fyra mindre figurer, likformiga med hela, men en tredjedel så stora. Något sådant är inte möjligt för en ”vanlig kurva” men däremot för en fraktal. Dimensionen är log 4/log 3, dvs ungefär 1,26. Värdet ligger mellan 1 och 2 och kurvan tar alltså ”mer plats” en an vanlig kurva men mindre än en yta.

Tre likadana kurvor kan sättas samman till von Kochs snöflinga. Annorlunda uttrckt, man utgår från en liksidig triangel och behandlar varje sida enligt ovan.

vonkoch2

Omkretsen av denna figur är ”oändlig”, eftersom varje steg i konstruktionen ökar sammanlagda längden av sträckorna med faktorn 4/3 > 1. Den inneslutna ytan är naturligtvis ändlig och man visar ganska lätt att arean är exakt 1,6 gånger den ursprungliga triangelns area.

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: