Astroiden och dess släktingar

Astroiden är en kurva som är besläktad med cykloiden (se tidigare inlägg).

astroid

Den har en parameterframställning

x = cos³t ,  y = sin³t ,  0 ≤ t ≤ 2π

som gör den tacksam för integrationsövningar, speciellt på trigonometriska integraler. Alternativt ger den flera exempel på användningen av gamma– och betafunktionerna. I kartesiska koordinater har astroiden ekvationen

|x|2/3 + |y|2/3 = 1 .

Vid beräkning av area mm kan man pga symmetrin hålla sig till första kvadranten så behövs inte absolutbeloppstecknen. Besläktade kurvor har ekvationer av typen

|x|a + |y|a = 1   där  a > 0 .

I parameterform blir exponenten 2/a istället för 3 för (den vanliga) astroiden. För a = 2 är kurvan en cirkel och för a = 1 en kvadrat.

Såväl area som båglängd och volym av den kropp som uppkommer då kurvan roterar kring x-axeln (eller y-axeln) kan man räkna fram ganska så snygga uttryck för med hjälp av gammafunktionen. För specifika a-värden, som 2/3, kan man även använda mera elementära integraler.

Astroidens area: 3π/8

Astroidens omkrets: 6

Rotationskroppens volym: 32π/105

Rotationskroppens area: 12π/5

Som exemplel på ett allmänt resultat kan nämnas arean för godtyckligt a > 0 är

2Γ(1/a)²/(aΓ(2/a)) .

Användbara resultat för Γ-funktionen för att förenkla dessa uttryck är Γ(a+1) = aΓ(a) för a > 0, Γ(n+1) = n! för naturliga tal n (obs att 0!=1) samt Γ(1/2) = √π.

En samling kurvor för den som känner för att beräkna integraler finns på nätet. Flera samlingar rättare sagt.

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: