Juliamängder

Apropå Cantormängder kom jag att tänka på Juliamängderna. Dessa är delmängder av det komplexa talplanet, definierade med hjälp av rekursionsformler för olika funktioner, ofta rationella. Mängderna är oftast komplicerade fraktaler och har inte kunnat avbildas förrän de senaste decennierna även om de studerades av matematikerna redan i början av 1900-talet. En av dessa matematiker var just Julia som har fått sitt namn på dessa mängder.

Ett specialfall som ofta är det som undersöks och inte minst ritas upp definieras mha formeln

zn+1 = zn2 + c

där c är ett komplext tal. Låt z0 vara ett komplext tal. Om nu rekursionsformeln tillåmpas upprepade gånger så kommer |zn| för vissa z0 att vara begränsad och för andra obegränsad. Den ifyllda Juliamängden för parametervärdet c definieras som mängden av de z0 för vilka |zn| inte går mot oändligheten. Juliamängden Jc definieras som randen av den ifyllda mängden. Denna mängd är en fraktal förutom då c = 0 eller c = -2 (det är inte känt om det finns fler c då mängden inte är en fraktal).

Man kan nu bevisa att dessa Juliamängder antingen är sammanhängande, dvs består av en del, eller är Cantormängder, dvs består av åtskilda punkter. Man kan se Juliamängden Jc som en funktion av c. Om mängden från början är sammanhängande och c varierar längs någon kurva i det komplexa talplanet ändrar Juliamängden utseende och då c går över ett visst värde sönderfaller den samtidigt ”överallt” och blir en Cantormängd. Återkommer till dessa värden och – Mandelbrotmängden!

julia

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: