Devil’s math III

I sin bok Keys to Infinity studerar författaren Pickover talet  L = (10666)!, alltså 10666 fakultet, som han kallar för Leviatans tal. Namnet syftar på en symbol för ondskan i Gamla Testamentet och 666 är Vildjurets tal i Johannes Uppenbarelse. Valet av 666 är väl en ploj, andra tal av samma storleksordning går lika bra för Pickover syfte. Och syftet tycks vara att visa att det går att räkna även med obegripligt, för att inte säga ”ondsint”, stora tal som L. Det finns andra sätt att konstruera så här stora tal, exempelvis med upprepade exponenter, men poängen med att använda fakultet är att man får ett tal för vilket man förhållandevis lätt kan räkna ut något intressant trots att talet är alltför stort för att man ska kunna räkna ut alla siffror som det skulle innehålla om det skrevs på vanligt sätt.

Och dessa egenskaper är två (de som Pickover använder i varje fall; det finns säkert fler), nämligen för det första att alla fakulteter över 4! = 24 slutar på nollor om det skrivs ut och för det andra att det finns en användbar formel för fakulteter, Stirlings formel.

Avslutande nollor: Eftersom n! är produkten av 1, 2, 3, 4, 5, …, n så finns det minns en faktor 2 och en faktor 5 om n > 4, dvs talet är delbart med 10. För vart femte värde tillkommer en faktor 5 och därmed en nolla. Exempelvis är 10! = 3628800 och 15! = 1307674368000. Det är ganska lätt att beräkna antalet avslutande nollor även för stora tal. Till och med L klarar man lätt, kanske helst med lite datorhjälp. Resultatet är att L slutar på exakt 2,5·10665 – 143 stycken nollor.

Stirlings formel: Ger en god approximation till fakulteter och gör det möjligt att beräkna några av de inledande siffrorna i L.

Och hela L då hur stort är det? Ja, varken talet eller ens alla de avslutande nollorna går att beräkna och skriva ut i varje fall inte i vårt universum. Inte ens om man skrev en siffra på varje atom skulle det  gå – inte på långt när. Universum, dvs det vi kan se, har en volym på ungefär 1031 kubikljusår eller 1079 m³. Universums materitäthet är i genomsnitt mycket låg mätt med jordiska mått. Men låt oss inte var knussliga, låt oss anta att universum vore fyllt av väte med normalt tryck (vilket är fullständigt orimligt!). Det innebär omkring 1026 atomer per m³ eller 10105 i hela universum. Men antalet nollor var ju över 10665 stycken. Det behövs alltså mer än 10560 sådana ”övertäta” universa för att antalet atomer ska vara lika många som antalet avslutande nollor i L.

Exemplet visar hur obegripligt stora tal som ändå kan enkelt uttyckas med våra symboler. De går att räkna med till en viss grad, vilket är nästan otroligt bara det. Men att försöka föreställa sig deras storlek är dömt att misslyckas. Vår föreställningsförmåga ger upp vid mycket, mycket mindre tal än så. Ändå finns det ännu mycket större tal som man kan räkna med och som har ett intresse i matematiken, inte bara som kuriosa. Bara att hitta på beteckningar för dem är en konst.

Pickovers bok:

pickover

Annonser

3 Responses to Devil’s math III

  1. jomabivi89 skriver:

    Nog för att jag tycker om, och mycket fascinerad, av matematiken. Men en fråga: Vad har man för användning av 10^(666) stora tal om det nu inte verkar vara speciellt användbart? ens inom astronomin som nog är det ämnesområde som jag kan finna relativt ”stora” tal frekvent förekommande. Motsatsen skulle väl vara fysiken med 10(-**)

  2. Bengt Månsson skriver:

    Just 10^666 känner jag inte till någon användning av. Det tog jag bara upp som exempel på att man kan räkna ut saker och ting (i det här fallet antal avslutande nollor och de första siffrorna) trots att man inte kan räkna ut alla siffrorna eller skriva ut talet. Inom kombinatoriken kan enormt stora tal komma till användning; ett exempel är Grahams tal:

    https://bengtmn.wordpress.com/2009/06/10/grahams-tal/

    Sedan är det ju en allmän erfarenhet att matematik som har tillkommit utan tanke på tillämpningar ofta ändå visar sig användbar. Exempelvis riemannsk geometri som används i Einsteins gravitationsteori och därmed inom kosmologin. När den först utvecklades av Riemann framstod den som en högst abstrakt ”inom-matematisk” konstruktion.

  3. Kmbwlzca skriver:

    ZicsWA comment3 ,

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: