Devil’s Staircase II

Lite mer detaljer om Cantor’s funktion.

De tal i intervallet [0,1] som tillhör Cantormängden är de som i det ternära talsystemet (som har tre siffror, 0, 1, 2) kan skrivas 0.+(siffror 0 eller 2 men inte 1). I det vanliga decimala systemet betyder detta a1/3 + a2/32+ a3/33 +… (ändligt eller oändligt antal termer) där varje koefficient är antingen 0 eller 2 men inget annat.

Exempel:

2/9 + 2/81 + 2/729 + … = (2/9)/(1 – 1/9) =  1/4

2/3 + 2/27 + 2/243 + … = (2/3)/(1 – 1/9) =  3/4

Talen 1/4 och 3/4 tillhör alltså Cantormängden.

Givetvis innehåller mängden alla ändpunkter av intervallen [0,1/3], [2/3,1], [0,1/9], [2/9,1/3], [2/3,7/9], osv. Detta kanske inte verkar gå ihop med beskrivningen ovan (bara siffrorna 0 eller 2…)  men det gör det. Exempelvis är

2/9 + 2/27 + 2/81 + … = (2/9)/(1 – 1/3) = 1/3

Men 1/4 och 3/4 är inte någon av dessa ändpunkter så Cantormängden består inte enbart av intervallens ändpunkter. Eftersom dessa bara är uppräkneligt många är i själva verket ”de flesta” punkterna i mängden inte någon av dessa!

Funktionsvärdena y för Cantors funktion definieras nu pfs. Om

x = a1/3 + a2/32+ a3/33 +…

så är motsvarande

y = (a1/2 + a2/22+ a3/23 +…)/2.

Exempel:

y(1/4) = y(2/9 + 2/81 + …) = y(2/32 + 2/34 + …) =

= (2/22 + 2/24 + …)/2 = 1/22 + 1/24 + … = (1/4)/(1 – 1/4) = 1/3 .

För x i de intevall som tas bort när Cantormängden konstrueras ger definitionen samma y i intervallets båda ändpunkter. Detta ska definitionsmässigt vara värdet av y i hela detta intervall.

Härmed är funktionen definierad i hela intervallet [0,1] och man kan visa att den är såväl växande som kontinuerlig.

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: