Avkoppling

Det blev mycket politik idag. Börjar känna mig lite degig i huvudet. Dags för lite stimulerande matematikfunderingar.

Stora tal, väldigt stora tal, behandlades ju i ett inlägg. Redan i grundskolan stöter man ju på potenser som ett praktiskt sätt att skriva stora och små tal. Och mer behövs sällan för skolbruk och för all del inte senare heller förutom inom ganska begränsade områden.

Det är inte svårt att tänka sig tal som blir svåra att uttrycka även med hjälp av potenser. Med upprepade exponenter kommer man längre. (Av typografiska skäl används ^ som symbol för exponentiering. Denna operation är associativ åt höger, dvs a^b^c = a^(b^c).)

Exempel: 2^2^1945 – 1

Detta är ett s k Fermattal, som man har kunnat visa är faktoriserbart trots dess storlek. En faktor är 5·2^1947 – 1. Fullt utskrivet har talet ungefär(2^1945)·lg 2 siffror, vilket är 10^(1945·lg 2)·lg 2 ≈ 10^(600)·0,3, dvs i samma klass (nästan) som Leviatans tal (se tidigare inlägg).

Hur långt räcker detta? Ja, tills de tre talen blir opraktiskt stora. Fler exponenter ger fler möjligheter. Och talen växer snabbt i stolek när antalet exponenter ökas:

2^2 = 4 ,  2^2^2 = 2^4 = 16 ,  2^2^2^2 = 2^16 = 65536,

2^2^2^2^2 = 2^65536 = 20035…56736   (19729 siffror)

2^2^2^2^2^2 = 2^20035 … 56736

Här blir det problem igen. Större tal än 2 hjälper men inte mycket. En möjlighet att komma längre är att använda Knuth’s arrow notation:

m^^n = m^m^m^ … ^m med n stycken m i högerledet

m^^^n = m^^m^^m^^ … ^^m med n st m i högerledet

osv.

2^^2 = 2^2 = 4

2^^3 = 2^2^2 = 16

2^^^3 = 2^^2^^2 = 2^^16 =

= 2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2 =

= 2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^65536 =

= 2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^20035 … 56736

där den sista exponenten alltså har 19729 siffror. Ett steg till:

2^2^2^2^2^2^2^2^2^2^<10^20000>

där < > bara anger antalet siffror i det tal som ska stå där. Redan den sista exponenten är helt utesluten att skriva ut och sedan har vi 10 exponentieringar kvar. Detta var alltså talet 2^^^3 och om vi då betänker att 2^^3 = 16 kanske vi kan få en aning om att m^^…^^n växer snabbt, väldigt snabbt, med n och med antalet ^.

Möjligen kan man nu börja undra om detta har någon tillämpning. Här har vi ju trots allt bara konstruerat stora tal, först genom att lägga på exponenter och därefter genom att göra detta ”lite effektivare”. Jodå det finns, tillämpningar alltså. Återkommer till detta.

Kan man tänka sig att antalet ^ blir obekvämt stort? Det kan man naturligtvis tänka sig. Hur många ^ har man lust att skriva (och läsa!)? Finns det fler knep? Det gör det. Men tro inte att man kan göra sig en bild av dessa tal! Det var längese’n det gick. – Någon har träffande sagt att dessa tal är mycket större än de flestas föreställning om oändligheten.

På nätet finns många sidor om ämnet stora tal , exempelvis här, här och här.

Fortsättning följer. 🙂

Annonser

One Response to Avkoppling

  1. Det här var förbanne mig en av de mest eleganta blogg jag sett sedan jag blev konfirmerad. Jag hade aldrig kunnat göra det bättre själv trots att jag inte är helt blåst när det gäller matematikens underbara värld. Min hund är för resten döpt efter talet φ 🙂

    Förmodligen kommer jag att länka hit vare sig du vill eller ej 🙂

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: