Elliptiska tal II

Talen K och E definierades i ett tidigare inlägg mha trigonometriska integraler. Genom ett variabelbyte x = sin φ får man en annan standardform:

K = integralen av 1/√((1 – x²)(1 – x²/2)) från 0 till 1

E = integralen av √(1 – x²/2)/√(1 – x²) från 0 till 1

Ett par andra trevliga integraler:

Integralen av √(1 – x²)/√(1 – x²/2) från 0 till 1.   Här har täljare och nämnare bytt plats jämfört med E-integralen. Sådant är ju alltid kul. 🙂  Men vad gör man då? Jo, man kan förlänga med täljaren. Detta ger efter lite manipulerande en E– och en K-integral och den sökta integralen blir 2EK = π/(2K). Här har den sista likheten erhållits mha Legendres identitet.

Integralen av x²/√(1 – x4) från 0 till 1.   En variabeltransformation x² → 1 – x² leder väsentligen till en föregående integral och värdet blir π/(2K√2).

Integralen av 1/√(1 – x4) från 0 till 1.   Denna är enligt tidigare inlägg K/√2.

Produkten av de två sista integralerna är som synes exakt π/4, något som spelar en roll i Salamin-Brents algoritm för beräkning av decimaler till π. Denna algoritm ledde i mitten av 1980-talet till en beräkning av π med omkring 8 miljoner decimaler och blev startskottet för en rad ännu noggrannare beräkningar, något som fortfarande pågår. Algoritmen skulle ha kunnat upptäckas tvåhundra år tidigare men den blev naturligtvis särskilt intressant i kombination med de allt snabbare datorerna. – Effektiva algoritmer, snabba datorer och välskrivna datorprogram är vad som behövs.

intprod

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: