Elliptiska integraler IV

Angående transformation av integraler som innehåller rotuttryck av typen  sqrt(x³ + ax² + bx + c). Jodå, visst går det men det kan bli ganska besvärligt, även när det gäller förhållandevis enkla uttryck som sqrt(x³ ± 1). Inte helt allmänt men dock får man utan större besvär följande:

ellint3Här betecknar K(k) en fullständig elliptisk integral av andra slaget med godtycklig modul k, 0 < k < 1. I tidigare exempel har vi haft k = 1/√2 och då bara skrivit K(1/√2) som K. I ovanstående resultat får vi k = 1/√2 endast om  γ – α = 2(β – α), vilket bara är möjligt om β = 0 och därmed g3 = 0. För α = -1, γ = 1 och g2 = 4 och får vi väsentligen ett exempel från föregående inlägg. Men detta är bara ett enkelt specialfall. Givet g2 och g3 så måste man lösa en tredjegradsekvation för att få fram polynomets nollställen α, β och γ. Det finns en allmän algoritm för detta, t ex användning av Cardanos formel, men resultatet kan bli ganska komplicerat. Härmed bestäms också integrationsgränserna.

Resultatet ovan är inte helt allmänt eftersom polynomet och integrationsgränserna hänger samman. Ett exempel:

ellint3exProblemet är naturligtvis att vi konstruerar exemplen ”baklänges”; vi väljer polynom, integrationsgränser eller modul och exemplet blir som det blir. Helt allmänt kanske man vill ha gränser, som inte bestäms av integranden. Detta går – naturligtvis hade jag så när sagt – men det kräver mer arbete, vilket jag inte går in på här. Kan möjligen återkomma till detta, vem vet. 🙂

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: