Elliptiska funktioner I – Jacobi

Dessa funktioner kan definieras på olika sätt och mer eller mindre generellt. För ögonblicket håller jag mig till Jacobis elliptiska funktioner med reella argument, vilka också har enkla fysikaliska tillämpningar, t ex på pendelrörelse. – Återkommer ev till detta. – De vanligaste av dessa funktioner  är sn, cn och dn och de definieras med hjälp av elliptiska integraler (se tidigare inlägg). Den ofullständiga elliptiska integralen av första slaget är

ellfkn1och sn(x,k) definieras till att börja med inom ett intervall  0 ≤ xKF(k,1)  som inversen till F(k,x), något som medför att

ellfkn4Därefter definieras, i samma intervall,

ellfkn2Modulen k skrivs vanligen inte ut då den framgår av sammanhanget. För andra intervall utvidgas definitionerna på analogt sätt som definitionerna av de trigonometriska funktionerna sin och cos. Motsvarande π/2 används K . Härigenom blir funktionerna periodiska, sn och cn med perioden 4K och dn med perioden 2K. Lägg märke till att sn = sin, cn = cos och dn = 1 om k = 0. Så här ser graferna ut för k = √3/2:

ellfkn

Såväl likheter som olikheter med sin- och cos-funktionerna framgår. En detalj som nätt och jämnt är synlig är att cn-grafen har inflexionspunkter inte enbart på x-axeln. Funktionernas derivator har följande vackra utseende:

ellfkn3

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: