Kägelsnitten

Kägelsnitten, även kallade koniska sektioner (eng conic sections), alltså parabeln, ellipsen och hyperbeln definierades ursprungligen som randkurvan till ett plant snitt av en kon eller dubbelkon. För hyperbelfallet används en dubbelkon och hyperbeln består av två grenar. Ellipsen är den enda av dessa kurvor som är sluten och begänsad. Ellipser kan ha olika form, som anges av värdet av eccentriciteten e, 0 ≤ e < 1  och cirkeln är ett specialfall, e = 0. Parabeln är ett gränsfall mellan ellipsen och hyperbeln. Hyperbler kan också ha olika form, som anges av eccentriciteten e > 1. Däremot är alla parablar likformiga och har en eccentricitet e = 1.

conicsDessa kurvor studerades redan under antiken, främst av Apollonios. Efter den analytiska geometrins uppkomst behandlades de med algebraiska metoder något som länge ingick i gymnasiekursen. En viktig tillämpning finns i astronomin. Planeterna rör sig i (approximativt) elliptiska banor, något som upptäcktes av Kepler och som hjälpte Newton att upptäcka sin gravitationslag. Kometer rör sig i banor som kan vara långsträckta ellipser men också parablar eller ellipser. Om farten är högre än flykthastigheten är banan en hyperbel.

Arkimedes bestämde arean av parabelsegment mm långt före integralkalkylens tillkomst. Bl a visade han att ett parabelsegments area är exakt 2/3 av arean av en parallellogram vars ena sida är segmentets korda och vars motstående sida tangerar parabeln:

parquad

Beviset finns i Arkimedes samlade verk varav ett utdrag finns på nätet. Apollonios verk finns ganska nyutgivna i originalform snsp översättning till engelska. – Anm: Namnet skrives alltså Apollonios på svenska men Apollonius på engelska; just in case någon trodde det var stavfel.

Kurvlängder är i allmänhet svårare att beräkna än areor såtillvida att de oftare leder till icke-elementära integraler. I ett tidigare inlägg nämdes ellipsens omkrets 4aE(e) som är ”enkelt” då man använder standardbeteckningen E(k) för en elliptisk integral. Uttrycket för ellipsens area πab är närmast självklart om man betänker att en ellips är en cirkel sedd ”från sidan”, dvs från en punkt utanför mittpunktsnormalen till ellipsen. Detta följer i sin tur av att en ellips kan betraktas som ett plant snitt genom en cylinder. I definitionen användes ju en kon men just för ellipsen går det lika bra med en cylinder.

Parabelsegmentets area studerades som sagt redan av Arkimedes och är inte svårare än att det kan behandlas på gymnasiet (MaD eller senare). Längden av en parabelbåge kan uttryckas mha elementära integraler om än lite svårare än för arean.

Arean av ett hyperbelsegmant är inte mycket svårare medan längden av en hyperbelbåge visar sig vara en riktig otäck sak. – Återkommer till denna i separat inlägg.

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: