Hyperbelns båglängd I

(Rättat den 24 juli)

Vi börjar med ett specialfall, xy = 1:

hypxy1

Denna kurva erhålles om ett vertikelt, plant snitt skär en dubbelkon med toppvinkeln 90°.

Den med rött markerade bågen utgöres av en del av hyperbelns ena gren, mellan (1;1), den punkt som ligger närmast origo, och (t;1/t) för godtyckligt t > 1. Längden av denna båge är

hypxy1aFunktionen u = x + 1/x avbildar enentydigt intervallet [1;t] på [2;t+1/t] och kan alltså användes för ett variabelbyte i integralen. Man verifierar lätt att

hypxy1bDärefter utföres i tur och ordning variabelbytena v = 2/u och v = sn z, vilket ger

hypxy1c

I alla förekommande elliptiska integraler och funktioner är modulen k = 1/√2. För att komma vidare utnyttjas följande derivator, som lätt verifieras mha deriveringsreglerna för de elliptiska funktionerna sn, cn, dn (se tidigare inlägg):

hypxy1d

hypxy1e

Med hjälp av detta får vi

hypxy1f

och för att beräkna integralen behövs nu integrationsgränserna för integrationsvariabeln z. Dessa är sn-1 1 = K och  sn-1 (2t/(1 + t²) och den sökta båglängden blir efter lite förenkling

hypxy1g

De två sista termerna kan om så önskas ersättas med ett uttryck i enbart K, mha Legendres identitet, eller med ett uttryck som innehåller gammafunktionen:

hypxy1h

Sista termen kan skrivas på flera sätt mha identiteten Γ(1/4)·Γ(3/4)=π√2.

Man ser lätt att L(1) = 0 som sig bör. För t nära 1 bör L(t) vara ungefär (t – 1)√2 eftersom hyperbelns tangent i punkten (1;1) bildar 45° vinkel med x-axeln. Att det verkligen är så följer av att L‘(1) = √2. Vidare är L(t) ≈ t för stora värden på t. Detta är också vad man kan vänta sig eftersom hyperbeln går asymptotiskt mot x-axeln. Mera precis: L(t) – tK – 2E = – π/(2K) = – Γ(3/4)²/√π ≈ -0,85 då t → ∞ så kurvan y = L(t) har asymptoten y = t Γ(3/4)²/√π , vilken är parallell med linjen y = t – 1 och ligger 1 – Γ(3/4)²/√π ≈ 0,15 över i y-led.

hypxy1j

Annonser

2 Responses to Hyperbelns båglängd I

  1. […] a = -4: I ett inlägg om båglängden för hyperbeln  xy = 1  bestämdes integralen av  √(1 + 1/x4)  från 1 till  […]

  2. […] av en båge från (1;1) till (1;t) på hyperbeln xy = 1 beräknades i ett tidigare inlägg. Dags att utvidga undersökningen till det allmänna fallet. Ekvationen för en hyperbel vilken som […]

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: