Integreringsknep

(Uppdaterad 20 juli)

Den enkla omskrivningen  √(1 ± xa) = 1/√(1 ± xa) ± x·xa-1/√(1 ± xa)  och partiell integrering ger ett enkelt samband mellan integralen  av  √(1 ± xa)  och integralen av  1/√(1 ± xa).

Exempel:

1.  a = 2: Integralen av  √(1 ± x2)  kan uttryckas i  arcsin x resp  ln(x + √(1 + x2)).

2.  a = 4: Integralen av  √(1 + x4)  från 0 till 1 erhålles enkelt ur integralen av  1/√(1 + x4)  från 0 till 1. Den senare är den enklaste att direkt erhålla mha lämpliga substitutioner. Värdena finns i tidigare inlägg.

3.  a = -4: I ett inlägg om båglängden för hyperbeln  xy = 1  bestämdes integralen av  √(1 + 1/x4)  från 1 till  t > 1  mha diverse knep. Att bestämma  integralen av  1/√(1 + 1/x4)  på liknande sätt går (tror jag) med liknande knep, men blir besvärligare. Med ovannämnda omskrivning och partiell integrering blir det enklare:

intknep1Härur kan man lösa ut den integral som önskas:

intknep2

Insättning av resultatet från tidigare inlägg ger

intknepkorr

där modulen  k = 1/√2. Mathematica ger föjande:

intknep5

Den andra hypergeometriska termen kan ersättas med en term innehållande en gammafunktion. En av ekvationerna ovan ger också integraler som den följande, som inte är så elliptisk som den kanske ser ut:

intknep4Mathematica ger detta värde direkt och integralen är inte heller så svår att beräkna för hand, exempelvis mha substitutionerna  x² = tan Θ  och  y = sin(2Θ).

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: