Hyperbelns båglängd II

(Rättelse den 24 juli: I andra ekvationen saknas  du längst till höger.)

Längden av en båge från (1;1) till (1;t) på hyperbeln xy = 1 beräknades i ett tidigare inlägg. Dags att utvidga undersökningen till det allmänna fallet. Ekvationen för en hyperbel vilken som helst kan skrivas  x = y·cot α + c/y·sin α  där α betecknar vinkeln mellan asymptoterna och skalfaktorn c > 0 definieras av att kortaste avständet från origo till hyperbeln är  2√c·cos(α/2). I fortsättningen sätter vi c = 1. För exvis  α = π/3 = 60°  ser hyperbeln ut så här:

hypII

Längden av bågen AP från   A = (1 + cos α, sin α)  till  P = (t + 1/t·cos α, 1/t·sin α) ,  där  t > 1  är

hypIIa

Samma transformation som i specialfallet xy = 1, u = x + 1/x ger

hypIIb

Därefter ger substitutionen  u = 2/sn z

hypIIc

I alla  elliptiska funktioner och integraler är modulen  k = √((1 + cos α)/2) = cos(α/2). Integrationsgränserna i variabeln z är sn-1 1 = K och  sn-1 (2t/(1 + t²)) och båglängden blir

hypIId

Uttrycket för P:s koordinater bygger på framställningen av hyperbelns ekvation i parameterform. I fallet  α = 90°  är  t = xP men i allmänhet är parametervärdet inte lika med x-värdet. Givet x för en punkt P som i figuren, alltså den del av hyperbelgrenen som har y-koordinat mindre än yA, bestäms t av sambandet  x = t + 1/t·cos α  varur  t = x/2 + √(x² – 4 cos α) .

För två punkter P och Q belägna på samma del av kurvan som P i figuren (Q till höger om P) är längden av bågen PQ = L(tQ) – L(tP ) med  t =x/2 + √(x² – 4 cos α)  för  x = xQ resp  x = xP .  För andra delar av kurvan kan man använda uttrycket för L(t) tillsammans med kurvans symmetriegenskaper (symmetrisk kring linjen  y = x·tan(α/2)  och kring origo).

Ett njutbart exempel:

Låt  α = 30°  och  parametervärdet för Pt = 31/4 .  Då är  A = (1 + √3/2, 1/2)  och  P = (3·31/4/2, 1/(2·31/4)).

hypIIexgraf

Röd linje: Asymptot (den andra asymptoten är x-axeln)

Blå linje: Bisektrisen till vinkeln mellan asymptoterna

Argumentet i de elliptiska integralerna är  τ ≡ 2t/(1+t²) = 2·31/4/(1 + √3) =  33/4 – 31/4 och modulen  k = cos 15° = sin 75° .  Bågen AP har längden

hypIIex

Här har utnyttjats att  F(τ) = 2/3·K enligt ett tidigare resultat där det också anges ett uttryck för K mha gammafunktionen. Approximativt värde med 10 värdesiffror är enligt Derive 0.1658489910. Direkt numerisk beräkning av integralen för L(t) ger detsamma. 🙂

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: