Elliptiska tillämpningar II

Glidande stege

(Uppdaterat den 9 aug)

(Tack till Tomas C, LTH för problemställningen.)

stege1En stege står lutad mot en vägg. Friktionen mot vägg och golv försvinner plötsligt. I vilket läge släpper stegen kontakten med väggen?

Ett orealistiskt problem kan tyckas men en nyttig övning. Och lösning av realistiska problem börjar ju ofta med en idealisering.

Stegen betraktas som tunn och jämntjock och homogen med massan m. Om stegen börjar glida vid tiden  t = 0  då  φ = φ0 så ger energilagen

stege2Eftersom

stege3kan detta skrivas

stege4För kommande behov noterar vi också att

stege5

Derivering av en tidigare ekvation ger

stege7

och därefter får vi tyngdpunktens acceleration i x-led:

stege8Stegen släpper kontakten med väggen då  x”  = 0 ,  dvs  då  cos φ = 2/3·cos φ0 ,  vilket betyder att stegens övre ände har glidit ner till en punkt på höjden 2/3 av den ursprungliga höjden över golvet.

Vid tillämpningen av energilagen har vi förutsatt att stegens nedre ände är i kontakt med golvet så länge den övre änden är i kontakt med väggen. Detta kan undersökas genom att studera funktionen  y”(t) .  Om  y”(t) > –g så verkar en kraft uppåt, dvs stegen vilar mot golvet.

Uttrycken för  φ’  och  φ”  insättes i uttrycket för  y” :

stege9Då  cos φ  växer från  cos φ0 till  2/3·cos φ0 så avtar parentesuttrycket och får minsta värdet -1 då stegen släpper kontakten med väggen. Alltså är  y”(t) ≥ -3g/4  under den tid stegen berör väggen och den är alltså under hela denna tid i kontakt med golvet. – Vad som sedan händer kan inte bestämmes mha enbart energilagen. Återkommer ev till detta.

Ekvationen  y” = -3g/(4L)·sin φ  visar att stegens rotationsrörelse är densamma som för en matematisk pendel med längden  4L/3 .  Funktionen  φ(t)  erhålles därför lätt ur motsvarande funktion för den matematiska pendeln varefter även  x(t)  och  y(t)  och derivatorna kan bestämmas:

stege12där modulen  k = sin(φ0/2) .  1/√2 < k < 1  och  cd = cn/dn .

Med hjälp av

stege10(minustecken eftersom  φ(t)  är en avtagande funktion av  t ) fås slutligen tiden från det att stegen börjar glida tills den tappar kontakten med väggen:

stege11där modulen  k = sin(φ0/2) .  1/√2 < k < 1 .

Annonser

One Response to Elliptiska tillämpningar II

  1. […] är en variant på det tidigare problemet med en glidande stege. Vi antar nu att inte bara friktionen utan också väggen försvinner. Något […]

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: