Elliptiska tillämpningar IV

Ljusets avböjning

Ljus från avlägsna stjärnor, som passerar intill solen kommer att avböjas 1,75 bågsekunder enligt den allmänna relativitetsteorin. Detta beräknades av Einstein och bekräftades vid mätningar i samband med en total solförmörkelse år 1919.

Avböjningen är (i radianer) ungefär  4m/R där  m = GM/c² ,  M är solens massa,  R dess radie,  G Newtons gravitationskonstant och  c ljusets fart i vakuum. Uppmätta värden finns här respektive här. (Det ska kanske påpekas att enheten meter numera definieras så att det angivna värdet på  c är exakt.)

Vid sfärisk symmetri, vilket vi antar, beskrivs gravitationsfältet i vakuum av Schwarzschilds metrik, som också bestämmer linjelementet ds:

defl1Banan för en ljusstråle i ekvatorialplanet (θ = 0) beskrivs av differentialekvationen

defl2

där  u = 1/r (se t ex Lawden, Introduction to Tensor Calculus and Relativity). Konstanten a beror på det minsta r-värdet R enligt

defl3Om vinkeln φ mäts från punkten närmast kraftcentrum (t ex solen) och avböjningen betecknas δ så ger differentialekvationen

defl4där

defl5Alternativt kan man uttrycka δ som en elliptisk integral av Jacobityp genom variabelsubstitutionen u = 1/r i första integralen ovan eller genom att använda funktionen r(φ) i stället för u(φ) i differentialekvationen. Bådadera ger

defl6där

defl7En transformation

defl8där

defl9överför integralen i

defl10(Cayleys metod). Här är

defl11och

defl12

Ett par enkla omskrivningar ger

defl13

där

defl13

Substitutionen  zu där  pz² = (pq)u²  ger slutligen

defl14där integralen är en ofullständig elliptisk integral av första slaget. Alternativt kan man skriva

defl15Såväl Weierstrass- som Jacobiintegralens integrander har en singularitet i integrationsintervallets ena ändpunkt. Denna försvårar en direkt numerisk integrering, även med hjälpmedel som Derive men elimineras genom en partiell integrering; i princip som

defl16För solens del får man, efter multiplikation med 180/π·3600,  δ ≈ 1,75  bågsekunder för ljus som passerar alldeles intill solen. För små värden på  m/R är  δ ≈ 4m/R ( i radianer), dvs avböjningen är ungefär omvänt proportionell mot R. Detta utnyttjas i praktiken då man mäter på stjärnor, som syns på varierande avstånd från solen. Denna approximation kan man direkt härleda ur differentialekvationen för ljusets rörelse (vilket ofta görs i läroböckerna) men också från endera av våra integraler.

Vi använder den första integralen, vilket verkar enklast:

defl17Variabelbytet  w = uR ger

defl18Här kan den andra faktorn i integranden utvecklas i potensserie i  m/R ,  varefter koefficienterna ger elementära integraler i  w .  Till och med ordning 3 ger detta

defl19där första termen i högerledet är den tidigare nämnda första approximationen. för avböjning vid solen räcker denna mer än väl. Vid mera extrema fall, såsom avböjning av ljus vid svarta hål eller neutronstjärnor är antagligen de fullständiga integraluttrycken lämpligast att använda, ev i kombination med numeriska metoder för integralberäkning. – Återkommer till detta.

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: