Complex algebra

(FB/Math/BM – Proposed by Akshay Arora)

If imaginary part of {(z – 1)/e + e/(z – 1) } = 0 then find the locus of  z where θ is constant.

______________________________________________

Let z = x + i y. Then Im{(z – 1)/e^iθ + e^iθ/(z-1)} =
= (x² – 2·x + y²)·(y·cos θ + (1 – x)·sin θ)/(x² – 2·x + y² + 1).

x² – 2·x + y² + 1 = (x – 1)² ≠ 0 for all real x, y. Thus the locus has equation

(x² – 2·x + y²)·(y·cos θ + (1 – x)·sin θ), or equivalently,

x² – 2·x + y² = 0 v y·cos θ + (1 – x)·sin θ, i e

(x – 1)² + y² = 1 v y = (x – 1)·tan θ.

So the locus consists of the circle with centre z = 1 and radius 1, and a linje with slope tan θ intersecting the imaginary axis at z = – i·tan θ.

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut /  Ändra )

Google+-foto

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut /  Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut /  Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut /  Ändra )

Ansluter till %s

%d bloggare gillar detta: